Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 99
2014-06-07 
Конечное множество $B \subset \mathbf{R}$ назовем базисом для множества $M \subset \mathbf{R}$, если каждое число из множества $M$ может быть единственным образом представлено в виде произведения целых степеней чисел из множества $B$. Верно ли, что для любого конечного множества положительных чисел существует базис?
Решение:
Докажем, что для конечного множества М положительных чисел существует базис В. Назовем подмножество S положительных чисел надбазисом для М, если каждое число из М представимо в виде произведения
$\alpha_{1}^{i_{1}} \cdots \alpha_{m}^{i_{m}}$, где $\alpha_{i}, \cdots , \alpha_{m} \in S, i_{1}, \cdots, i_{m}\in \mathbf{Z}$.
Например, само множество М является надбазисом для М. Среди всех надбазисов для М выберем множество
$S_{0}={\beta_{1}; \cdots ; \beta_{n}}$,
содержащее минимальное число элементов. Докажем, что если $n \geq 2$, то $S_{0}$ - базис для М. Допустим, что некоторый элемент $u \in M$ допускает различные представления в виде произведения целых степеней элементов из $S_{0}$:
$u = \beta_{1}^{i_{1}} \cdots \beta_{n}^{i_{n}} = \beta_{1}^{i_{1}} \cdots \beta_{n}^{i_{n}}$ т. е. $\beta_{1}^{k_{1}} \cdots \beta_{n}^{k_{n}}= 1$
для целых чисел $k_{l} = i_{l} – j_{l}$ не равных одновременно при всех $l =1, \cdots , n$ нулю. Без ограничения общности можно считать, что $k_{n} \neq 0$. Пусть
$S_{1}= {\gamma_{1}, \cdots , \gamma_{n-1}}$, где $\gamma_{l}=\beta_{l}^{1/k_{n}}$ при $l=1, \cdots, n-1$.
Тогда каждый элемент множества $S_{0}$ представляется в виде произведения целых степеней элементов из $S_{1}$.
$\beta_{l}=\gamma_{l}^{k_{n}}$ при $l=1, \cdots , n-1; \beta_{n}= \gamma_{1}^{-k_{1}} \cdots \gamma_{n-1}^{-k_{n-1}}$
Поэтому множество $S_{1}$ является надбазисом для М, содержащим $n – 1$ элементов, что противоречит выбору $S_{0}$. Значит, $S_{0}$ - базис для М. Если существует надбазис $S_{0}$ для М, содержащий единственный элемент $\beta \neq 1$, то $S_{0}$ также является базисом для М, так как равенство $\beta^{i} = \beta^{j}$ невозможно при $i \neq j$. Наконец, если множество $S_{0}=\{ 1 \}$ является надбазисом для М, то $M = \{ 1 \}$ и множество $S_{1}= \{ 2 \}$ будет базисом для М.
Конечное множество $B \subset \mathbf{R}$ назовем базисом для множества $M \subset \mathbf{R}$, если каждое число из множества $M$ может быть единственным образом представлено в виде произведения целых степеней чисел из множества $B$. Верно ли, что для любого конечного множества положительных чисел существует базис?
Решение:
Докажем, что для конечного множества М положительных чисел существует базис В. Назовем подмножество S положительных чисел надбазисом для М, если каждое число из М представимо в виде произведения
$\alpha_{1}^{i_{1}} \cdots \alpha_{m}^{i_{m}}$, где $\alpha_{i}, \cdots , \alpha_{m} \in S, i_{1}, \cdots, i_{m}\in \mathbf{Z}$.
Например, само множество М является надбазисом для М. Среди всех надбазисов для М выберем множество
$S_{0}={\beta_{1}; \cdots ; \beta_{n}}$,
содержащее минимальное число элементов. Докажем, что если $n \geq 2$, то $S_{0}$ - базис для М. Допустим, что некоторый элемент $u \in M$ допускает различные представления в виде произведения целых степеней элементов из $S_{0}$:
$u = \beta_{1}^{i_{1}} \cdots \beta_{n}^{i_{n}} = \beta_{1}^{i_{1}} \cdots \beta_{n}^{i_{n}}$ т. е. $\beta_{1}^{k_{1}} \cdots \beta_{n}^{k_{n}}= 1$
для целых чисел $k_{l} = i_{l} – j_{l}$ не равных одновременно при всех $l =1, \cdots , n$ нулю. Без ограничения общности можно считать, что $k_{n} \neq 0$. Пусть
$S_{1}= {\gamma_{1}, \cdots , \gamma_{n-1}}$, где $\gamma_{l}=\beta_{l}^{1/k_{n}}$ при $l=1, \cdots, n-1$.
Тогда каждый элемент множества $S_{0}$ представляется в виде произведения целых степеней элементов из $S_{1}$.
$\beta_{l}=\gamma_{l}^{k_{n}}$ при $l=1, \cdots , n-1; \beta_{n}= \gamma_{1}^{-k_{1}} \cdots \gamma_{n-1}^{-k_{n-1}}$
Поэтому множество $S_{1}$ является надбазисом для М, содержащим $n – 1$ элементов, что противоречит выбору $S_{0}$. Значит, $S_{0}$ - базис для М. Если существует надбазис $S_{0}$ для М, содержащий единственный элемент $\beta \neq 1$, то $S_{0}$ также является базисом для М, так как равенство $\beta^{i} = \beta^{j}$ невозможно при $i \neq j$. Наконец, если множество $S_{0}=\{ 1 \}$ является надбазисом для М, то $M = \{ 1 \}$ и множество $S_{1}= \{ 2 \}$ будет базисом для М.
