Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 984
2014-03-13 
Найдите все пары целых чисел #m# и #n.# удовлетворяющие одновременно двум неравенствам: #\begin{cases} m^{2} + n^{2} < 16m - 22n - 171,\\ 30m - n^{2} > 252 + 14n + m^{2}. \end{cases}#
Решение:
Выделив полные квадраты в неравенствах системы, получим: #\begin{cases} (m^{2} - 16m + 64) + (n^{2} + 22n + 121) < 14,\\ (m^{2} - 30m + 225) + (n^{2} + 14n + 49) < 22; \end{cases} \iff \begin{cases} (m - 8)^{2} + (n + 11)^{2} < 14,\\ (m - 15)^{2} + (n + 7)^{2} < 22. \end{cases}# Отсюда #\begin{cases} (m - 8)^{2} < 14,\\ (m - 15)^{2} < 22. \end{cases}# С учетом целочисленности #m# из последней системы следует: #\begin{cases} |m - 8| \leq 3,\\ |m - 15| \leq 4; \end{cases} \iff \begin{cases} 5 \leq m \leq 11,\\ 11 \leq m \leq 19; \end{cases} \iff m = 11.# Используя найденное значение #m = 11# и учтя целочисленность, для #n# получим следующую систему неравенств: #\begin{cases} (n + 11)^{2} < 5,\\ (n + 7)^{2} < 6; \end{cases} \iff \begin{cases} |n+11| \leq 2,\\ |n+7| \leq 2; \end{cases} \iff \begin{cases} -13 \leq m \leq -9,\\ -9 \leq m \leq -5; \end{cases} \iff n = -9.# Ответ: #m = 11, n = - 9#.
Найдите все пары целых чисел #m# и #n.# удовлетворяющие одновременно двум неравенствам: #\begin{cases} m^{2} + n^{2} < 16m - 22n - 171,\\ 30m - n^{2} > 252 + 14n + m^{2}. \end{cases}#
Решение:
Выделив полные квадраты в неравенствах системы, получим: #\begin{cases} (m^{2} - 16m + 64) + (n^{2} + 22n + 121) < 14,\\ (m^{2} - 30m + 225) + (n^{2} + 14n + 49) < 22; \end{cases} \iff \begin{cases} (m - 8)^{2} + (n + 11)^{2} < 14,\\ (m - 15)^{2} + (n + 7)^{2} < 22. \end{cases}# Отсюда #\begin{cases} (m - 8)^{2} < 14,\\ (m - 15)^{2} < 22. \end{cases}# С учетом целочисленности #m# из последней системы следует: #\begin{cases} |m - 8| \leq 3,\\ |m - 15| \leq 4; \end{cases} \iff \begin{cases} 5 \leq m \leq 11,\\ 11 \leq m \leq 19; \end{cases} \iff m = 11.# Используя найденное значение #m = 11# и учтя целочисленность, для #n# получим следующую систему неравенств: #\begin{cases} (n + 11)^{2} < 5,\\ (n + 7)^{2} < 6; \end{cases} \iff \begin{cases} |n+11| \leq 2,\\ |n+7| \leq 2; \end{cases} \iff \begin{cases} -13 \leq m \leq -9,\\ -9 \leq m \leq -5; \end{cases} \iff n = -9.# Ответ: #m = 11, n = - 9#.
