Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 982
2014-03-13 
Найдите два действительных корня уравнения #x^{4} + 5x +a = 0# . если известно, что это различные целые числа.
Решение:
Пусть #k# и #m# решения уравнения #x^{4} + 5x +a = 0,# т.е. #\begin{cases} k^{4} + 5k + a = 0,\\ m^{4} + 5m + a = 0. \end{cases}# Вычитая из первого уравнения второе, получим #k^{4} - m^{4} + 5 \cdot (k-m) = 0,# или #(k-m) \cdot ((k^{2} + m^{2}) \cdot (k+m) + 5) = 0.# Так как но условию #k - m \neq 0# то должно выполняться равенство #(k^{2} + m^{2}) \cdot (k+m) = - 5.# Числа #k^{2} + m^{2}# и #k+m# - целые, поэтому они должны являться делителями числа (-5). Так как #k^{2} + m^{2} > 0# то возможны варианты: #1) \begin{cases} k^{2} + m^{2} = 5,\\ k+m = -1; \end{cases} 2) \begin{cases} k^{2} + m^{2} = 1,\\ k+m = -5. \end{cases} # В первом случае система имеет две пары целых решений: #m_{1} = 1, k_{1} = - 2# и #m_{2} = -2, k_{2} = 1.# Во втором случае целочисленных решений нет. Таким образом, различными целыми решениями уравнения #x^{4} + 5x + a = 0# могут быть только числа #x = -2# и #x = 1.# Так как существует #a = -6.# при котором одновременно выполняются равенства #(-2)^{4} + 5 \cdot (-2) + a = 0# и #1^{4} + 5 \cdot 1 + a = 0.# то эта пара удовлетворяет условию задачи. Ответ: -2; 1.
Найдите два действительных корня уравнения #x^{4} + 5x +a = 0# . если известно, что это различные целые числа.
Решение:
Пусть #k# и #m# решения уравнения #x^{4} + 5x +a = 0,# т.е. #\begin{cases} k^{4} + 5k + a = 0,\\ m^{4} + 5m + a = 0. \end{cases}# Вычитая из первого уравнения второе, получим #k^{4} - m^{4} + 5 \cdot (k-m) = 0,# или #(k-m) \cdot ((k^{2} + m^{2}) \cdot (k+m) + 5) = 0.# Так как но условию #k - m \neq 0# то должно выполняться равенство #(k^{2} + m^{2}) \cdot (k+m) = - 5.# Числа #k^{2} + m^{2}# и #k+m# - целые, поэтому они должны являться делителями числа (-5). Так как #k^{2} + m^{2} > 0# то возможны варианты: #1) \begin{cases} k^{2} + m^{2} = 5,\\ k+m = -1; \end{cases} 2) \begin{cases} k^{2} + m^{2} = 1,\\ k+m = -5. \end{cases} # В первом случае система имеет две пары целых решений: #m_{1} = 1, k_{1} = - 2# и #m_{2} = -2, k_{2} = 1.# Во втором случае целочисленных решений нет. Таким образом, различными целыми решениями уравнения #x^{4} + 5x + a = 0# могут быть только числа #x = -2# и #x = 1.# Так как существует #a = -6.# при котором одновременно выполняются равенства #(-2)^{4} + 5 \cdot (-2) + a = 0# и #1^{4} + 5 \cdot 1 + a = 0.# то эта пара удовлетворяет условию задачи. Ответ: -2; 1.
