Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 981
2014-03-13 
Найдите целые значения #x# и #y,# удовлетворяющие системе уравнений #\begin{cases} 2x^{2} + xy + y^{2} = 8, \\ (x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 1. \end{cases}#
Решение:
Ð ассмотрим второе уравнение системы #(x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 1.# Так как #(y-2)^{2} \geq 0,# то #(x+1)^{2} = 1 - (y-2)^{2} \leq 1,# или #|x+1| \leq 1.# Существует только три целочисленных значения #x.# удовлетворяющих последнему неравенству: #x_{1} = -2, x_{2} = -1, x_{3} = 0.# #x_{1} = -2# При #\begin{cases} y^{2} - 2y = 0, \\ y-2 = 0, \end{cases} \iff y = 2.# получим систему #x_{2} = -1# При ## получим систему # \begin{cases} y^{2} - y = 6,\\ (y-2)^{2} = 1, \end{cases} \iff \begin{cases} \left [ \begin{array}{ll} y = -2,\\ y = 3, \end{array} \right. \\ \left [ \begin{array}{ll} y = 3,\\ y = 1, \end{array} \right. \end{cases} \iff y = 3.# При #x_{3} = 0# получим систему #egin{cases} y^{2} = 8, (y-2)^{2} = 0. end{cases}# Эта система не имеет решений. Итак, целочисленными решениями исходной системы являются нары чисел #(-2; 2)# и #(-1; 3).# Ответ: (-2; 2), (- 1; 3).
Найдите целые значения #x# и #y,# удовлетворяющие системе уравнений #\begin{cases} 2x^{2} + xy + y^{2} = 8, \\ (x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 1. \end{cases}#
Решение:
Ð ассмотрим второе уравнение системы #(x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 1.# Так как #(y-2)^{2} \geq 0,# то #(x+1)^{2} = 1 - (y-2)^{2} \leq 1,# или #|x+1| \leq 1.# Существует только три целочисленных значения #x.# удовлетворяющих последнему неравенству: #x_{1} = -2, x_{2} = -1, x_{3} = 0.# #x_{1} = -2# При #\begin{cases} y^{2} - 2y = 0, \\ y-2 = 0, \end{cases} \iff y = 2.# получим систему #x_{2} = -1# При ## получим систему # \begin{cases} y^{2} - y = 6,\\ (y-2)^{2} = 1, \end{cases} \iff \begin{cases} \left [ \begin{array}{ll} y = -2,\\ y = 3, \end{array} \right. \\ \left [ \begin{array}{ll} y = 3,\\ y = 1, \end{array} \right. \end{cases} \iff y = 3.# При #x_{3} = 0# получим систему #egin{cases} y^{2} = 8, (y-2)^{2} = 0. end{cases}# Эта система не имеет решений. Итак, целочисленными решениями исходной системы являются нары чисел #(-2; 2)# и #(-1; 3).# Ответ: (-2; 2), (- 1; 3).
