Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 98
2014-06-07 
Для непустого множества $M \subset Q$ выполнены два условия:
1) если $a \in \mathbf{M}$ и $b \in \mathbf{M}$ то $a+b \in \mathbf{M}$ и $ab \in \mathbf{M}$;
2) если $r \in \mathbf{Q}$, то верно ровно одно из трех следующих утверждений: $r \in \mathbf{M}, -r \in \mathbf{M}, r=0$.
Доказать, что множество $M$ совпадает с множеством всех положительных рациональных чисел.
Решение:
Из условия 2) следует, что либо $1 \in M$, либо $(- 1) \in M$. Но $(-1) \notin M$, так как иначе в силу условия 1)
$(-1)(-1) = 1 \in M$
что противоречит условию 2). Поэтому $1 \in M$. Из условия 1) следует, что $1 + 1 \in M, 2 + 1 \in M$ и т. д., т.е. $M \supset \mathbf{N}$. Если теперь $(- 1/m) \in M$ (где $m \in \mathbf{N}$), то, согласно условию 1),
$(- 1/m)m = (-1) \in M$
что неверно. Поэтому $(-1/m) \notin M$ и $1/m \in M$ для любого $m \in \mathbf{N}$. Из условия 1) далее следует, что
$n (1/m) = n/m \in M$ для любых $n,m \in \mathbf{N}$.
Тогда
$(-n/m) \notin M (n, m \in \mathbf{N})$,
а кроме того, из условия 2) имеем $0 \notin M$. Утверждение доказано.
Для непустого множества $M \subset Q$ выполнены два условия:
1) если $a \in \mathbf{M}$ и $b \in \mathbf{M}$ то $a+b \in \mathbf{M}$ и $ab \in \mathbf{M}$;
2) если $r \in \mathbf{Q}$, то верно ровно одно из трех следующих утверждений: $r \in \mathbf{M}, -r \in \mathbf{M}, r=0$.
Доказать, что множество $M$ совпадает с множеством всех положительных рациональных чисел.
Решение:
Из условия 2) следует, что либо $1 \in M$, либо $(- 1) \in M$. Но $(-1) \notin M$, так как иначе в силу условия 1)
$(-1)(-1) = 1 \in M$
что противоречит условию 2). Поэтому $1 \in M$. Из условия 1) следует, что $1 + 1 \in M, 2 + 1 \in M$ и т. д., т.е. $M \supset \mathbf{N}$. Если теперь $(- 1/m) \in M$ (где $m \in \mathbf{N}$), то, согласно условию 1),
$(- 1/m)m = (-1) \in M$
что неверно. Поэтому $(-1/m) \notin M$ и $1/m \in M$ для любого $m \in \mathbf{N}$. Из условия 1) далее следует, что
$n (1/m) = n/m \in M$ для любых $n,m \in \mathbf{N}$.
Тогда
$(-n/m) \notin M (n, m \in \mathbf{N})$,
а кроме того, из условия 2) имеем $0 \notin M$. Утверждение доказано.
