Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 97
2014-06-07 
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существует строка из $2n$ чисел, обладающая следующим свойством: для любого значения $k=1, \cdots , n$ в строке имеются 2 числа, равных $k$, между которыми находится ровно $k$ чисел.
Решение:
Допустим, что для некоторого значения $n$ существует строка из $2n$ чисел, обладающая требуемым свойством. Обозначим через $m_{k}$ номер того из двух чисел, равных $k$, которое идет в строке первым (слева). Тогда второе из этих чисел имеет номер $m_{k} + k + 1$, а сумма номеров всех $2n$ чисел в строке равна
$\sum_{k=1}^{n} (m_{k} + (m_{k} + k +1)) = 2 \sum_{k=1}^{n} m_{k} + n(n+3)/2$.
С другой стороны, сумма тех же $2n$ номеров равна
$\sum_{i=1}^{2n} i = n(2n+1)$.
Поэтому
$2 \sum_{k=1}^{n} m_{k} = n (2n + 1 ) – n(n+3)/2 = n (3n-1)/2$,
следовательно, число $n(3n-1)/4$ является целым. Поскольку лишь одно из чисел $n$ и $3n-1$ может быть четным, то оно же должно делиться и на 4, а значит, возможны только два случая; либо $n = 4l$, либо $3n – 1 = 4 l^{\prime}$, т. е.
$n = 4 \frac{l^{\prime} + 1}{3} -1 = 4l - 1$, где $l,l^{\prime} \in \mathbf{N}$.
Докажем, что любое число $n$ указанного вида удовлетворяет условию задачи. При $n = 4l, l \geq 2$, требуемым свойством обладает, например, строка
$( 4l – 4; \cdots ; 2l; 4l – 2; 2l – 3; \cdots ; 4l-1; 1; \cdots ; 2l-3;$
$2l; \cdots ; 4l-4; 4l; 4l – 3; \cdots ; 2l+1; 4l-2; 2l-2; \cdots ; 2;$
$2l – 1; 4l-1; 2; \cdots ; 2l-2; 2l + 1; \cdots ; 4l - 3; 2l - 1; 4l)$,
в которой каждое многоточие обозначает арифметическую прогрессию с разностью 2 или -2, начинающуюся числом перед этим многоточием и кончающуюся числом после него. Аналогично, при $n = 4l -1, l \geq 2$, подходит, например, строка
$( 4l – 4; \cdots ; 2l; 4l – 2; 2l – 3; \cdots ; 1; 4l-1; 1; \cdots ; 2l-3;$
$2l; \cdots ; 4l-4; 2l - 1; 4l – 3; \cdots ; 2l+1; 4l-2; 2l-2; \cdots ; 2;$
$2l – 1; 4l-1; 2; \cdots ; 2l-2; 2l + 1; \cdots ; 4l - 3)$,
Наконец, для $n = 4$ и $n = 3$ имеем строки (2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4) и (2, 3, 1, 2, 1, 3) соответственно. Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа вида $n = 4l, n = 4l - 1 (l \in \mathbf{N})$ и только они.
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существует строка из $2n$ чисел, обладающая следующим свойством: для любого значения $k=1, \cdots , n$ в строке имеются 2 числа, равных $k$, между которыми находится ровно $k$ чисел.
Решение:
Допустим, что для некоторого значения $n$ существует строка из $2n$ чисел, обладающая требуемым свойством. Обозначим через $m_{k}$ номер того из двух чисел, равных $k$, которое идет в строке первым (слева). Тогда второе из этих чисел имеет номер $m_{k} + k + 1$, а сумма номеров всех $2n$ чисел в строке равна
$\sum_{k=1}^{n} (m_{k} + (m_{k} + k +1)) = 2 \sum_{k=1}^{n} m_{k} + n(n+3)/2$.
С другой стороны, сумма тех же $2n$ номеров равна
$\sum_{i=1}^{2n} i = n(2n+1)$.
Поэтому
$2 \sum_{k=1}^{n} m_{k} = n (2n + 1 ) – n(n+3)/2 = n (3n-1)/2$,
следовательно, число $n(3n-1)/4$ является целым. Поскольку лишь одно из чисел $n$ и $3n-1$ может быть четным, то оно же должно делиться и на 4, а значит, возможны только два случая; либо $n = 4l$, либо $3n – 1 = 4 l^{\prime}$, т. е.
$n = 4 \frac{l^{\prime} + 1}{3} -1 = 4l - 1$, где $l,l^{\prime} \in \mathbf{N}$.
Докажем, что любое число $n$ указанного вида удовлетворяет условию задачи. При $n = 4l, l \geq 2$, требуемым свойством обладает, например, строка
$( 4l – 4; \cdots ; 2l; 4l – 2; 2l – 3; \cdots ; 4l-1; 1; \cdots ; 2l-3;$
$2l; \cdots ; 4l-4; 4l; 4l – 3; \cdots ; 2l+1; 4l-2; 2l-2; \cdots ; 2;$
$2l – 1; 4l-1; 2; \cdots ; 2l-2; 2l + 1; \cdots ; 4l - 3; 2l - 1; 4l)$,
в которой каждое многоточие обозначает арифметическую прогрессию с разностью 2 или -2, начинающуюся числом перед этим многоточием и кончающуюся числом после него. Аналогично, при $n = 4l -1, l \geq 2$, подходит, например, строка
$( 4l – 4; \cdots ; 2l; 4l – 2; 2l – 3; \cdots ; 1; 4l-1; 1; \cdots ; 2l-3;$
$2l; \cdots ; 4l-4; 2l - 1; 4l – 3; \cdots ; 2l+1; 4l-2; 2l-2; \cdots ; 2;$
$2l – 1; 4l-1; 2; \cdots ; 2l-2; 2l + 1; \cdots ; 4l - 3)$,
Наконец, для $n = 4$ и $n = 3$ имеем строки (2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4) и (2, 3, 1, 2, 1, 3) соответственно. Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа вида $n = 4l, n = 4l - 1 (l \in \mathbf{N})$ и только они.
