Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 9621
2022-11-10 
В таблице 9x9 расставлены числа 1-81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки такие, что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6.
Решение:
Рассмотрим две клетки, в которых стоят числа 1 и 81, и соединим их цепочкой из соседних клеток. Если хотя бы одна из клеток - не угловая, то цепочка содержит не более 16 клеток, в которых стоят числа $a_{1} = 1, a_{2}, \cdots ,a_{n} = 81$. Тогда $(a_{n} - a_{n-1}) + \cdots + (a_{2} - a_{1}) = a_{n} - a_{1} = 81 - 1 = 80$. Разностей в данном случае не больше 15, и если бы каждая разность была меньше 6, то их сумма была бы меньше $15 \cdot 5 = 75$. Итак, среди разностей есть не меньшие 6.
Числа 1 и 81 стоят в угловых клетках, лежащих на одной диагонали; соединим их двумя цепочками длиной в 17 клеток каждая и составим 16 разностей. Имеем:
$80 = (81 - a_{16}) + \cdots + (a_{2} - 1) = (81 - b_{16}) + \cdots + (b_{2} - 1)$,
поэтому, если в первой цепочке нет разностей, больших 5, то, поскольку сумма 16 разностей равна 80, каждая разность равна 5, значит, в клетках этой цепочки стоят числа 1, 6, 11,$\cdots$, 81, поэтому этих чисел (кроме 1 и 81) нет во второй цепочке, т. е. не могут все разности второй цепочки равняться 5, а если какая-то из них меньше 5, то найдётся разность, большая 5.
В таблице 9x9 расставлены числа 1-81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки такие, что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6.
Решение:
Рассмотрим две клетки, в которых стоят числа 1 и 81, и соединим их цепочкой из соседних клеток. Если хотя бы одна из клеток - не угловая, то цепочка содержит не более 16 клеток, в которых стоят числа $a_{1} = 1, a_{2}, \cdots ,a_{n} = 81$. Тогда $(a_{n} - a_{n-1}) + \cdots + (a_{2} - a_{1}) = a_{n} - a_{1} = 81 - 1 = 80$. Разностей в данном случае не больше 15, и если бы каждая разность была меньше 6, то их сумма была бы меньше $15 \cdot 5 = 75$. Итак, среди разностей есть не меньшие 6.
Числа 1 и 81 стоят в угловых клетках, лежащих на одной диагонали; соединим их двумя цепочками длиной в 17 клеток каждая и составим 16 разностей. Имеем:
$80 = (81 - a_{16}) + \cdots + (a_{2} - 1) = (81 - b_{16}) + \cdots + (b_{2} - 1)$,
поэтому, если в первой цепочке нет разностей, больших 5, то, поскольку сумма 16 разностей равна 80, каждая разность равна 5, значит, в клетках этой цепочки стоят числа 1, 6, 11,$\cdots$, 81, поэтому этих чисел (кроме 1 и 81) нет во второй цепочке, т. е. не могут все разности второй цепочки равняться 5, а если какая-то из них меньше 5, то найдётся разность, большая 5.
