Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 96
2014-06-07 
Сумма целых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ равна единице. Доказать, что тогда среди чисел
$b_{i}=a_{i}+2 a_{i+1}+3 a_{i+2}+ \cdots + (n-i+1) a_{n} + (n-i+2)a_{1}+ (n-i+3) a_{2} +$
$+ \cdots + na_{i-1}(i=1,2, \cdots , n)$
нет одинаковых.
Решение:
Поскольку
$b_{i}- b_{i+1} = (n-1)a_{i} + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots $
$\cdots + a_{n} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{i-1} = 1 – na_{i} \equiv 1 (\mod n)$
при каждом значении $i = 1, \cdots , n -1$, то
$b_{n-1} \equiv b_{n} + 1 (\mod n)$,
$b_{n-2} \equiv b_{n-1} + 1 (\mod n)$,
$\cdots$
$b_{1} \equiv b_{3} + 1 (\mod n)$,
Следовательно, числа
$b_{n-i} \equiv b_{n} + i(\mod n), i = 0,1, \cdots, n-1$,
дают при делении на $n$ различные остатки, а значит, не могут совпадать.
Сумма целых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ равна единице. Доказать, что тогда среди чисел
$b_{i}=a_{i}+2 a_{i+1}+3 a_{i+2}+ \cdots + (n-i+1) a_{n} + (n-i+2)a_{1}+ (n-i+3) a_{2} +$
$+ \cdots + na_{i-1}(i=1,2, \cdots , n)$
нет одинаковых.
Решение:
Поскольку
$b_{i}- b_{i+1} = (n-1)a_{i} + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots $
$\cdots + a_{n} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{i-1} = 1 – na_{i} \equiv 1 (\mod n)$
при каждом значении $i = 1, \cdots , n -1$, то
$b_{n-1} \equiv b_{n} + 1 (\mod n)$,
$b_{n-2} \equiv b_{n-1} + 1 (\mod n)$,
$\cdots$
$b_{1} \equiv b_{3} + 1 (\mod n)$,
Следовательно, числа
$b_{n-i} \equiv b_{n} + i(\mod n), i = 0,1, \cdots, n-1$,
дают при делении на $n$ различные остатки, а значит, не могут совпадать.
