Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 95
2014-06-07 
Для заданного положительного рационального значения $c \neq 1$ доказать, что множество натуральных чисел можно представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств А и В так, чтобы отношение любых двух чисел из множества А, а также отношение любых двух чисел из множества В не равнялось числу $c$.
Решение:
Будем строить множества $A$ и $B$ индукцией по $n \in \mathbf{N}$. Положим $1 \in A$. Пусть числа $1, \cdots ,n -1$ уже распределены по подмножествам $A$ и $B$. Рассмотрим число $n$. Если найдется число
$k_{1} \in {1; \cdots ; n-1}$,
удовлетворяющее равенству $k_{1}/n = c$, то отнесем число $n$ в то подмножество, которое не содержит числа $k_{1}$. Если же для некоторого числа
$k_{2} \in {1; \cdots ; n-1}$,
выполнено равенство $n/k_{2} = c$, то отнесем число $n$ в подмножество, не содержащее числа $k_{2}$. Заметим, что равенства $k_{1}/n=c$ и $n/k_{2} = c$ одновременно выполняться не могут, поскольку иначе было бы верно равенство $k_{1}/n = n/k_{2}$, т. е. $k_{1}k_{2}=n^{2}$ что невозможно. Наконец, если чисел $k_{1}$ и $k_{2}$ нет ни в одном из подмножеств, то положим $n \in A$.
Полученное в итоге разбиение множества $\mathbf{N}$ на два подмножества будет удовлетворять условию задачи.
Для заданного положительного рационального значения $c \neq 1$ доказать, что множество натуральных чисел можно представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств А и В так, чтобы отношение любых двух чисел из множества А, а также отношение любых двух чисел из множества В не равнялось числу $c$.
Решение:
Будем строить множества $A$ и $B$ индукцией по $n \in \mathbf{N}$. Положим $1 \in A$. Пусть числа $1, \cdots ,n -1$ уже распределены по подмножествам $A$ и $B$. Рассмотрим число $n$. Если найдется число
$k_{1} \in {1; \cdots ; n-1}$,
удовлетворяющее равенству $k_{1}/n = c$, то отнесем число $n$ в то подмножество, которое не содержит числа $k_{1}$. Если же для некоторого числа
$k_{2} \in {1; \cdots ; n-1}$,
выполнено равенство $n/k_{2} = c$, то отнесем число $n$ в подмножество, не содержащее числа $k_{2}$. Заметим, что равенства $k_{1}/n=c$ и $n/k_{2} = c$ одновременно выполняться не могут, поскольку иначе было бы верно равенство $k_{1}/n = n/k_{2}$, т. е. $k_{1}k_{2}=n^{2}$ что невозможно. Наконец, если чисел $k_{1}$ и $k_{2}$ нет ни в одном из подмножеств, то положим $n \in A$.
Полученное в итоге разбиение множества $\mathbf{N}$ на два подмножества будет удовлетворять условию задачи.
