Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 945
2014-03-08 
Докажите, что при любом целом #n# число #n^{7} - n# делится на 42.
Решение:
#n^{7} - n = n \cdot (n^{3} - 1) \cdot (n^{3} + 1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n^{2} + n + 1) \cdot (n^{2} - n + 1).# Число #(n-1) \cdot n \cdot (n+1)# делится на 2 и на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, число #n^{7} - n# делится на 6. Покажем, что #n^{7} - n# делится на 7. Действительно, согласно малой теореме Ферма, #n^{7} \equiv n (\mod 7).# Отсюда #n^{7} - n \equiv 0 (\mod 7).# т.е. #n^{7} - n# делится на 7. Так как 6 и 7 взаимно просты, число #n^{7} - n# делится на 42.
Докажите, что при любом целом #n# число #n^{7} - n# делится на 42.
Решение:
#n^{7} - n = n \cdot (n^{3} - 1) \cdot (n^{3} + 1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n^{2} + n + 1) \cdot (n^{2} - n + 1).# Число #(n-1) \cdot n \cdot (n+1)# делится на 2 и на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, число #n^{7} - n# делится на 6. Покажем, что #n^{7} - n# делится на 7. Действительно, согласно малой теореме Ферма, #n^{7} \equiv n (\mod 7).# Отсюда #n^{7} - n \equiv 0 (\mod 7).# т.е. #n^{7} - n# делится на 7. Так как 6 и 7 взаимно просты, число #n^{7} - n# делится на 42.
