Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 943
2014-03-08 
Найдите все натуральные числа #n,#, для которых имеет место равенство #n = 2 \cdot \phi(n).#
Решение:
Имеем #m.# Пусть #m,# задано в каноническом виде: #n > 1# Тогда #= 2 \cdot p_{1}^{k_{1} - 1} \cdot p_{2}^{k_{2} - 1} \cdot \cdots \cdot p_{s}^{k_{s} - 1} \cdot (p_{1} - 1) \cdot (p_{2} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# и, следовательно. #p_{2} \cdot p_{3} \cdot \cdots \cdot p_{s} = 2 \cdot (p_{1} - 1) \cdot (p_{2} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# Так как произведение #p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdot \cdots \cdot p_{s}# четно, то одно из чисел (например. #p_{1}#) должно равняться 2. При #s > 1# получаем #p_{2} \cdot p_{3} \cdot \cdots \cdot p_{s} = (p_{2} - 1) \cdot (p_{3} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# что невозможно, т.к. правая часть меньше левой. Следовательно. #s = 1.# Тогда #n = 2^{k} (k \in \mathbf{N}).#
Найдите все натуральные числа #n,#, для которых имеет место равенство #n = 2 \cdot \phi(n).#
Решение:
Имеем #m.# Пусть #m,# задано в каноническом виде: #n > 1# Тогда #= 2 \cdot p_{1}^{k_{1} - 1} \cdot p_{2}^{k_{2} - 1} \cdot \cdots \cdot p_{s}^{k_{s} - 1} \cdot (p_{1} - 1) \cdot (p_{2} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# и, следовательно. #p_{2} \cdot p_{3} \cdot \cdots \cdot p_{s} = 2 \cdot (p_{1} - 1) \cdot (p_{2} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# Так как произведение #p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdot \cdots \cdot p_{s}# четно, то одно из чисел (например. #p_{1}#) должно равняться 2. При #s > 1# получаем #p_{2} \cdot p_{3} \cdot \cdots \cdot p_{s} = (p_{2} - 1) \cdot (p_{3} - 1) \cdot \cdots \cdot (p_{s} - 1)# что невозможно, т.к. правая часть меньше левой. Следовательно. #s = 1.# Тогда #n = 2^{k} (k \in \mathbf{N}).#
