Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 942
2014-03-08 
Докажите, что для любого целого числа #m \geq 2# сумма всех натуральных чисел, не превосходящих числа #m# взаимно простых с #m,# равна #0.5 \cdot m \cdot \phi(m).#
Решение:
Если #a# - натуральное число, не превосходящее числа #m# и взаимно простое с #m.# то #m-1# также является натуральным числом, не превосходящим числами взаимно простым с #m# Так как из #m.# следует, что #a_{1} \neq a_{2}# это означает, что если #m-a_{1} \neq m - a_{2},# принимает без повторений все значения из приведенной системы вычетов по модулю #a# выбранной из полной системы вычетов #m,# но этому модулю. то и будет принимать без повторений все значения из той же приведенной системы вычетов. Поэтому, сложив #1,2, \cdots, m# слагаемых вида #m-1# (где #\phi(m)# пробегаст упомянутую приведенную систему вычетов), мы получим удвоенную сумму всех чисел, не превосходящих числа #a + (m-a)# и взаимно простых с #a# Так как каждое из этих слагаемых равно #m# требуемый результат теперь очевиден.
Докажите, что для любого целого числа #m \geq 2# сумма всех натуральных чисел, не превосходящих числа #m# взаимно простых с #m,# равна #0.5 \cdot m \cdot \phi(m).#
Решение:
Если #a# - натуральное число, не превосходящее числа #m# и взаимно простое с #m.# то #m-1# также является натуральным числом, не превосходящим числами взаимно простым с #m# Так как из #m.# следует, что #a_{1} \neq a_{2}# это означает, что если #m-a_{1} \neq m - a_{2},# принимает без повторений все значения из приведенной системы вычетов по модулю #a# выбранной из полной системы вычетов #m,# но этому модулю. то и будет принимать без повторений все значения из той же приведенной системы вычетов. Поэтому, сложив #1,2, \cdots, m# слагаемых вида #m-1# (где #\phi(m)# пробегаст упомянутую приведенную систему вычетов), мы получим удвоенную сумму всех чисел, не превосходящих числа #a + (m-a)# и взаимно простых с #a# Так как каждое из этих слагаемых равно #m# требуемый результат теперь очевиден.
