Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 941
2014-03-08 
Найдите количество натуральных чисел:
1) не превосходящих числа 605 и имеющих с этим числом наибольший общий делитель, равный 5;
2) не превосходящих числа 1680 и имеющих с ним наибольший общий делитель, равный 24.
Решение:
1) Ð ешение. Так как #605 = 5 \cdot 121,# то произвольное натуральное число, не превосходящее числа 605 и имеющее с этим числом наибольший общий делитель, равный 5. имеет вид #5n,# где #n# натуральное число, не превосходящее числа 121 и взаимно простое с этим числом.
2) Ð ешение. Указанные числа можно представить в виде #24x# #(x \in \mathbf{N}),# при этом #24x \leq 1680.# Имеем: #\text{НОД}(1680, 24x) = 24.# Так как #1680 = 24 \cdot 70,# то должно выполняться: #\text{НОД}(70, x) = 1.# При этом #x \leq 70.# Количество таких чисел #x,# а значит, и искомых чисел, равно #\phi(70) = \phi(2 \cdot 5 \cdot 7) = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 24.#
Найдите количество натуральных чисел:
1) не превосходящих числа 605 и имеющих с этим числом наибольший общий делитель, равный 5;
2) не превосходящих числа 1680 и имеющих с ним наибольший общий делитель, равный 24.
Решение:
1) Ð ешение. Так как #605 = 5 \cdot 121,# то произвольное натуральное число, не превосходящее числа 605 и имеющее с этим числом наибольший общий делитель, равный 5. имеет вид #5n,# где #n# натуральное число, не превосходящее числа 121 и взаимно простое с этим числом.
2) Ð ешение. Указанные числа можно представить в виде #24x# #(x \in \mathbf{N}),# при этом #24x \leq 1680.# Имеем: #\text{НОД}(1680, 24x) = 24.# Так как #1680 = 24 \cdot 70,# то должно выполняться: #\text{НОД}(70, x) = 1.# При этом #x \leq 70.# Количество таких чисел #x,# а значит, и искомых чисел, равно #\phi(70) = \phi(2 \cdot 5 \cdot 7) = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 24.#
