Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 94
2014-06-07 
Доказать, что число способов, которыми из набора $1, 2, \cdots ,49$ можно выбрать шестерку различных чисел так, чтобы хотя бы два из них были последовательными, равно
$C_{49}^{6}-C_{44}^{6}$.
Решение:
Каждому набору из 6 различных натуральных чисел от 1 до 49 (без ограничения общности считаем их расположенными в порядке возрастания)
$a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$
поставим в соответствие набор вида
$a_{1}, a_{2}-1 , a_{3}-2 , a_{4} - 3 , a_{5} - 4 , a_{6}-5$.
Числа в последнем наборе различны в том и только в том случае, если в исходном наборе не было последовательных чисел, и всегда расположены в порядке неубывания. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством наборов из 6 различных чисел от 1 до 49, среди которых нет последовательных чисел, и множеством всех наборов из 6 различных чисел от 1 до 44. Количество элементов в каждом из этих множеств равно $C^{6}_{44}$, а количество всех наборов из 6 различных чисел от 1 до 49 равно $C^{6}_{49}$. Таким образом, количество наборов, в которых есть последовательные числа, равно $C^{6}_{49} - C^{6}_{44}$.
Доказать, что число способов, которыми из набора $1, 2, \cdots ,49$ можно выбрать шестерку различных чисел так, чтобы хотя бы два из них были последовательными, равно
$C_{49}^{6}-C_{44}^{6}$.
Решение:
Каждому набору из 6 различных натуральных чисел от 1 до 49 (без ограничения общности считаем их расположенными в порядке возрастания)
$a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$
поставим в соответствие набор вида
$a_{1}, a_{2}-1 , a_{3}-2 , a_{4} - 3 , a_{5} - 4 , a_{6}-5$.
Числа в последнем наборе различны в том и только в том случае, если в исходном наборе не было последовательных чисел, и всегда расположены в порядке неубывания. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством наборов из 6 различных чисел от 1 до 49, среди которых нет последовательных чисел, и множеством всех наборов из 6 различных чисел от 1 до 44. Количество элементов в каждом из этих множеств равно $C^{6}_{44}$, а количество всех наборов из 6 различных чисел от 1 до 49 равно $C^{6}_{49}$. Таким образом, количество наборов, в которых есть последовательные числа, равно $C^{6}_{49} - C^{6}_{44}$.
