Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 937
2014-03-08 
Воспользовавшись рекуррентными формулами, найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля #x^{2} - 2y^{2} = 1.#
Решение:
В уравнении #x^{2} - 2y^{2} = 1 (x_{1}; y_{1}) = (3;2),# поэтому рекуррентные формулы примут вид #\begin{cases} x_{n+1} = 3x_{n} + 4y_{n},\\ y_{n+1} = 2x_{n} + 3y_{n}; \end{cases}# При #n = 1 \begin{cases} x_{2} = 3x_{1} + 4y_{1},\\ y_{2} = 2x_{1} + 3y_{1}; \end{cases} \iff \begin{cases} x_{2} = 17,\\ y_{2} = 12. \end{cases}# При #n = 2 \begin{cases} x_{3} = 3x_{2} + 4y_{2},\\ y_{3} = 2x_{2} + 3y_{2}; \end{cases} \iff \begin{cases} x_{33} = 99,\\ y_{3} = 70. \end{cases}#
Воспользовавшись рекуррентными формулами, найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля #x^{2} - 2y^{2} = 1.#
Решение:
В уравнении #x^{2} - 2y^{2} = 1 (x_{1}; y_{1}) = (3;2),# поэтому рекуррентные формулы примут вид #\begin{cases} x_{n+1} = 3x_{n} + 4y_{n},\\ y_{n+1} = 2x_{n} + 3y_{n}; \end{cases}# При #n = 1 \begin{cases} x_{2} = 3x_{1} + 4y_{1},\\ y_{2} = 2x_{1} + 3y_{1}; \end{cases} \iff \begin{cases} x_{2} = 17,\\ y_{2} = 12. \end{cases}# При #n = 2 \begin{cases} x_{3} = 3x_{2} + 4y_{2},\\ y_{3} = 2x_{2} + 3y_{2}; \end{cases} \iff \begin{cases} x_{33} = 99,\\ y_{3} = 70. \end{cases}#
