Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 936
2014-03-08 
Выведите рекуррентные формулы для нахождения всех положительных целочисленных решений уравнения Пелля #x^{2} - Ay^{2} = 1.#
Решение:
Так как любое положительное решение уравнения #x^{2} - Ay^{2} = 1# можно найти по формуле #x_{n} + y_{n} \sqrt{A} = (x_{1} + y_{1} \sqrt{A})^{n},# где #(x_{1}; y_{1})# - наименьшее положительное решение данного уравнения. Тогда #x_{n+1} + y_{n+1} \sqrt{A} = (x_{n} + y_{n} \sqrt{A})^{n} \cdot (x_{1} + y_{1} \sqrt{A})^{n}.# Отсюда, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим рекуррентные соотношения: #\begin{cases} x_{n+1} = x_{n}x_{1} + Ay_{n}y_{1},\\ y_{n+1} = x_{n}y_{1} + y_{n}x_{1}, \end{cases}#
Выведите рекуррентные формулы для нахождения всех положительных целочисленных решений уравнения Пелля #x^{2} - Ay^{2} = 1.#
Решение:
Так как любое положительное решение уравнения #x^{2} - Ay^{2} = 1# можно найти по формуле #x_{n} + y_{n} \sqrt{A} = (x_{1} + y_{1} \sqrt{A})^{n},# где #(x_{1}; y_{1})# - наименьшее положительное решение данного уравнения. Тогда #x_{n+1} + y_{n+1} \sqrt{A} = (x_{n} + y_{n} \sqrt{A})^{n} \cdot (x_{1} + y_{1} \sqrt{A})^{n}.# Отсюда, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим рекуррентные соотношения: #\begin{cases} x_{n+1} = x_{n}x_{1} + Ay_{n}y_{1},\\ y_{n+1} = x_{n}y_{1} + y_{n}x_{1}, \end{cases}#
