Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 935
2014-03-08 
Найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля #x^{2} - 2y^{2} = 1.#.
Решение:
Наименьшее положительное решение этого уравнения: #(x_{1}; y_{1}) = (3; 2)# Согласно теореме 15 решения #(x_{2}; y_{2}), (x_{3}; y_{3})# ищутся из условия #x_{n} + y_{n} \sqrt{2} = (x_{1} + y_{1} \sqrt{2})^{n}# Итак: #x_{2} + y_{2} \sqrt{2} = (3 + 2 \sqrt{2})^{2} = 17 + 12 \sqrt{2}, \text{т.е.} (x_{2}, y_{2}) = (17; 12); \\ x_{3} + y_{3} \sqrt{2} = (3 + 2 \sqrt{2})^{3} = 27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2} = 99 + 70 \sqrt{2}, \text{т.е.} (x_{3}, y_{3}) = (99; 70).#
Найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля #x^{2} - 2y^{2} = 1.#.
Решение:
Наименьшее положительное решение этого уравнения: #(x_{1}; y_{1}) = (3; 2)# Согласно теореме 15 решения #(x_{2}; y_{2}), (x_{3}; y_{3})# ищутся из условия #x_{n} + y_{n} \sqrt{2} = (x_{1} + y_{1} \sqrt{2})^{n}# Итак: #x_{2} + y_{2} \sqrt{2} = (3 + 2 \sqrt{2})^{2} = 17 + 12 \sqrt{2}, \text{т.е.} (x_{2}, y_{2}) = (17; 12); \\ x_{3} + y_{3} \sqrt{2} = (3 + 2 \sqrt{2})^{3} = 27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2} = 99 + 70 \sqrt{2}, \text{т.е.} (x_{3}, y_{3}) = (99; 70).#
