Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 934
2014-03-08 
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 дает остаток 3, при делении на 5 дает остаток 4 и при делении на 6 дает остаток 5.
Решение:
I способ. Пусть #x# искомое число, тогда #x = 6k + 5.# Очевидно, что #x = 6k + 5# дает при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2. Далее, по условию #x = 5n + 4.# Получаем диофантово уравнение: #6k + 5 = 5n + 4 \iff 5n - 6l = 1.# Так как #\text{НОД} (5, 6) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(n_{0}; k_{0}) = (-1; - 1)# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} n = -1 + 6t,\\ k = -1 + 5t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Отсюда #x = -1 + 30t, t \in \mathbf{Z}.# Далее, по условию #x =4m + 3.# Вновь получаем диофантово уравнение: #4m + 3 = 30t - 1 \iff 15t - 2m = 2.# Так как #\text{НОД}(15, 2) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(t_{0}; m_{0}) = (0; - 1).# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} t = 2l,\\ k = -1 + 15l, \end{cases}# где #l \in \mathbf{Z}.# Отсюда #x = -1 + 60l, l \in \mathbf{Z}.# Так как #x# наименьшее натуральное число, то #x = 59.#
2 способ. Из условия задачи получаем систему сравнений: # \begin{cases} x \equiv 1 (\mod 2),\\ x \equiv 2 (\mod 3),\\ x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5), \\ x \equiv 5 (\mod 6). \end{cases}# Из первых двух сравнений следует, что #x \equiv 5 (\mod 6).# Таким образом, необходимо решить систему: # \begin{cases} x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5), \\ x \equiv 5 (\mod 6). \end{cases}# Найдем вначале X, удовлетворяющее условиям: # \begin{cases} x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5). \end{cases}# Тогда # \begin{cases} 5x \equiv 15 (\mod 20),\\ 4x \equiv 16 (\mod 20). \end{cases}# Отсюда, вычтя из первого сравнения второе, получим #x \equiv 5 (\mod 6).# Итак, осталось решить систему: # \begin{cases} x \equiv 5 (\mod 6),\\ x \equiv -1 (\mod 20); \end{cases} \iff \begin{cases} 10x \equiv 50 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60); \end{cases} \iff \begin{cases} 7x \equiv 53 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv 56 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60). \end{cases}# Отсюда, в очередной раз вычтя из первого сравнения второе, получим #x \equiv 59 (\mod 60).# Итак, #x = 59 + 60l, l \in \mathbf{Z}.# Так как #x# наименьшее натуральное число, то #x=59.#
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 дает остаток 3, при делении на 5 дает остаток 4 и при делении на 6 дает остаток 5.
Решение:
I способ. Пусть #x# искомое число, тогда #x = 6k + 5.# Очевидно, что #x = 6k + 5# дает при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2. Далее, по условию #x = 5n + 4.# Получаем диофантово уравнение: #6k + 5 = 5n + 4 \iff 5n - 6l = 1.# Так как #\text{НОД} (5, 6) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(n_{0}; k_{0}) = (-1; - 1)# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} n = -1 + 6t,\\ k = -1 + 5t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Отсюда #x = -1 + 30t, t \in \mathbf{Z}.# Далее, по условию #x =4m + 3.# Вновь получаем диофантово уравнение: #4m + 3 = 30t - 1 \iff 15t - 2m = 2.# Так как #\text{НОД}(15, 2) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(t_{0}; m_{0}) = (0; - 1).# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} t = 2l,\\ k = -1 + 15l, \end{cases}# где #l \in \mathbf{Z}.# Отсюда #x = -1 + 60l, l \in \mathbf{Z}.# Так как #x# наименьшее натуральное число, то #x = 59.#
2 способ. Из условия задачи получаем систему сравнений: # \begin{cases} x \equiv 1 (\mod 2),\\ x \equiv 2 (\mod 3),\\ x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5), \\ x \equiv 5 (\mod 6). \end{cases}# Из первых двух сравнений следует, что #x \equiv 5 (\mod 6).# Таким образом, необходимо решить систему: # \begin{cases} x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5), \\ x \equiv 5 (\mod 6). \end{cases}# Найдем вначале X, удовлетворяющее условиям: # \begin{cases} x \equiv 3 (\mod 4), \\ x \equiv 4 (\mod 5). \end{cases}# Тогда # \begin{cases} 5x \equiv 15 (\mod 20),\\ 4x \equiv 16 (\mod 20). \end{cases}# Отсюда, вычтя из первого сравнения второе, получим #x \equiv 5 (\mod 6).# Итак, осталось решить систему: # \begin{cases} x \equiv 5 (\mod 6),\\ x \equiv -1 (\mod 20); \end{cases} \iff \begin{cases} 10x \equiv 50 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60); \end{cases} \iff \begin{cases} 7x \equiv 53 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv 56 (\mod 60),\\ 3x \equiv -3 (\mod 60). \end{cases}# Отсюда, в очередной раз вычтя из первого сравнения второе, получим #x \equiv 59 (\mod 60).# Итак, #x = 59 + 60l, l \in \mathbf{Z}.# Так как #x# наименьшее натуральное число, то #x=59.#
