Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 933
2014-03-08 
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее в остатке 1 при делении на 2, 3, 4, 5, 6.
Решение:
1 способ. Найдем #h = \text{НОК} (2, 3, 4, 5, 6); h = 60.# Пусть #x# искомое число, тогда #x = 60k + 1, x = 7n.# Получаем диофантово уравнение #7n - 60k = 1# Так как #\text{НОД}(7,60) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(n_{0}; k_{0}) = (43; 5).# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} n = 43 + 60t,\\ k = 5 + 7t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Число #x# натуральное, поэтому #n > 0.# Отсюда #40 + 60t > 0,# следовательно, #t > - \frac{43}{60}.# Таким образом #t \geq 0, t \in \mathbf{Z}.# Причем, чем меньше #t,# тем меньше #n,# а значит, тем меньше #x.# При, #t = 0: n = 43, x =301.#
2 способ. Найдя #\text{НОК}(2, 3, 4, 5, 6) = 60,# получаем систему сравнений # \begin{cases} x \equiv 0 (\mod 7),\\ x \equiv 1 (\mod 60); \end{cases} iff \begin{cases} 60x \equiv 0 (\mod 420),\\ 7x \equiv 7 (\mod 420); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv -56 (\mod 420),\\ 7x \equiv 7 (\mod 420); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv -56 (\mod 420),\\ 3x \equiv 63 (\mod 420). \end{cases} # Отсюда # x \equiv -119 (\mod 420),# или # x \equiv 301 (\mod 420).# Итак, #x = 301 + 420t.# Так как нам требуется наименьшее натуральное #x,# то #x = 301.#
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее в остатке 1 при делении на 2, 3, 4, 5, 6.
Решение:
1 способ. Найдем #h = \text{НОК} (2, 3, 4, 5, 6); h = 60.# Пусть #x# искомое число, тогда #x = 60k + 1, x = 7n.# Получаем диофантово уравнение #7n - 60k = 1# Так как #\text{НОД}(7,60) = 1,# уравнение разрешимо. Подбором находим частное решение #(n_{0}; k_{0}) = (43; 5).# Тогда общее решение примет вид: # \begin{cases} n = 43 + 60t,\\ k = 5 + 7t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Число #x# натуральное, поэтому #n > 0.# Отсюда #40 + 60t > 0,# следовательно, #t > - \frac{43}{60}.# Таким образом #t \geq 0, t \in \mathbf{Z}.# Причем, чем меньше #t,# тем меньше #n,# а значит, тем меньше #x.# При, #t = 0: n = 43, x =301.#
2 способ. Найдя #\text{НОК}(2, 3, 4, 5, 6) = 60,# получаем систему сравнений # \begin{cases} x \equiv 0 (\mod 7),\\ x \equiv 1 (\mod 60); \end{cases} iff \begin{cases} 60x \equiv 0 (\mod 420),\\ 7x \equiv 7 (\mod 420); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv -56 (\mod 420),\\ 7x \equiv 7 (\mod 420); \end{cases} \iff \begin{cases} 4x \equiv -56 (\mod 420),\\ 3x \equiv 63 (\mod 420). \end{cases} # Отсюда # x \equiv -119 (\mod 420),# или # x \equiv 301 (\mod 420).# Итак, #x = 301 + 420t.# Так как нам требуется наименьшее натуральное #x,# то #x = 301.#
