Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 932
2014-03-08 
Существует ли такой многочлен #f(x)# с целочисленными коэффициентами, что #f(1) = 1, f(5) = 2?#
Решение:
Ð ешение. 1 способ. Предположим, что подобный многочлен #f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{z}x + a_{0}# существует и #a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in \mathbf{Z}# его коэффициенты. Из условия #f(1) = 1, f(5) = 2# получаем систему уравнений: # \begin{cases} a_{n} + a_{n-1} + \cdots + a_{1} + a_{0} = 1,\\ 5^{n} \cdot a_{n} + 5^{n-1} \cdot a_{n-1} + \cdots + 5 \cdot a_{1} + a_{0} = 2. \end{cases}# Вычтя из второго уравнения системы первое, получим диофантово уравнение #(5^{n}-1) \cdot a_{n} + (5^{n}-1) \cdot a_{n-1} + \cdots + (5-1) \cdot a_{1} = 1, # которое должно быть разрешимо в целых числах. Числа вида #(k = 1, 2, \cdots, n)# нечетны, а числа вида #5^{k} - 1# #(k = 1, 2, \cdots, n)# четны. Поэтому коэффициенты диофантова уравнения имеют наибольший общий делитель #d# такой, что #d \neq 1.# Так как правая часть уравнения не делится на #d,# уравнение не имеет целочисленных решений. Получили противоречие, которое показывает, что допущенное предположение неверно и подобного многочлена #f(x)# с целочисленными коэффициентами не существует.
2 способ. Для многочлена #f(x)# с целочисленными коэффициентами должно выполняться условие #f(a+b) \equiv f(a) (\mod b).# В данном случае условие не выполнено при #a = 1, b = 4.#
Существует ли такой многочлен #f(x)# с целочисленными коэффициентами, что #f(1) = 1, f(5) = 2?#
Решение:
Ð ешение. 1 способ. Предположим, что подобный многочлен #f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{z}x + a_{0}# существует и #a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in \mathbf{Z}# его коэффициенты. Из условия #f(1) = 1, f(5) = 2# получаем систему уравнений: # \begin{cases} a_{n} + a_{n-1} + \cdots + a_{1} + a_{0} = 1,\\ 5^{n} \cdot a_{n} + 5^{n-1} \cdot a_{n-1} + \cdots + 5 \cdot a_{1} + a_{0} = 2. \end{cases}# Вычтя из второго уравнения системы первое, получим диофантово уравнение #(5^{n}-1) \cdot a_{n} + (5^{n}-1) \cdot a_{n-1} + \cdots + (5-1) \cdot a_{1} = 1, # которое должно быть разрешимо в целых числах. Числа вида #(k = 1, 2, \cdots, n)# нечетны, а числа вида #5^{k} - 1# #(k = 1, 2, \cdots, n)# четны. Поэтому коэффициенты диофантова уравнения имеют наибольший общий делитель #d# такой, что #d \neq 1.# Так как правая часть уравнения не делится на #d,# уравнение не имеет целочисленных решений. Получили противоречие, которое показывает, что допущенное предположение неверно и подобного многочлена #f(x)# с целочисленными коэффициентами не существует.
2 способ. Для многочлена #f(x)# с целочисленными коэффициентами должно выполняться условие #f(a+b) \equiv f(a) (\mod b).# В данном случае условие не выполнено при #a = 1, b = 4.#
