Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 93
2014-06-07 
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько существует троек натуральных чисел, сумма которых равна $6n$.
Решение:
Найдем количество троек натуральных чисел $x \leq y \leq z$, составляющих в сумме $6n$. При каждом значении $k = l, 2, \cdots , n$ выпишем все тройки, для которых $x=2k – 1$ и соответственно $x=2k$:
$(2k - 1;2k - 1;6n - 4k + 2)$,
$(2k - 1;2k;6n - 4k + 1)$,
$\cdots $
$(2k - 1; 8n - k;3n – k+ 1)$
и соответственно
$(2k ;2k ;6n - 4k)$,
$(2k ;2k + 1;6n - 4k - 1)$,
$\cdots $
$(2k ; 3n - k;3n – k)$
Поэтому количество всех выписанных троек равно
$S_{k} = (3n - k) – (2k -2) + (3n - k) – (2k - 1) = 6n – 6k + 3$,
а количество всех троек, удовлетворяющих условию задачи, равно
$\sum_{k=1}^{n}S_{k} = \sum_{k=1}^{n}S_{k} (6n- 6k + 3) = \frac{(6n – 3 ) +3}{2} \cdot n = 3 n^{2}$.
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько существует троек натуральных чисел, сумма которых равна $6n$.
Решение:
Найдем количество троек натуральных чисел $x \leq y \leq z$, составляющих в сумме $6n$. При каждом значении $k = l, 2, \cdots , n$ выпишем все тройки, для которых $x=2k – 1$ и соответственно $x=2k$:
$(2k - 1;2k - 1;6n - 4k + 2)$,
$(2k - 1;2k;6n - 4k + 1)$,
$\cdots $
$(2k - 1; 8n - k;3n – k+ 1)$
и соответственно
$(2k ;2k ;6n - 4k)$,
$(2k ;2k + 1;6n - 4k - 1)$,
$\cdots $
$(2k ; 3n - k;3n – k)$
Поэтому количество всех выписанных троек равно
$S_{k} = (3n - k) – (2k -2) + (3n - k) – (2k - 1) = 6n – 6k + 3$,
а количество всех троек, удовлетворяющих условию задачи, равно
$\sum_{k=1}^{n}S_{k} = \sum_{k=1}^{n}S_{k} (6n- 6k + 3) = \frac{(6n – 3 ) +3}{2} \cdot n = 3 n^{2}$.
