Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 929
2014-03-08 
Ð ешите в целых числах системы:
1) #\begin{cases} 3x + 3y + 5z = 1, & \\ 4x + 5y - 2z = 4; \end{cases} #
2) # \begin{cases} 3x + 2y - z = 1, & \\ 4x + 5y - 2z = 4; \end{cases} #
3) # \begin{cases} 3x + 3y + 5z = 8, & \\ 5x - 6y + 8z = 9. \end{cases} #
Решение:
1) Умножим первое уравнение системы на (- 4), а второе уравнение на 3 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #3y - 26z = 8,# которое разрешимо в целых числах. Частное решение уравнения: #(y_{0}; z_{0}) = (72; 8).# Общее решение уравнения: ## где #t \in \mathbf{Z}.# Если из второго уравнения системы вычесть первое, то получим: #x + 2y - 7z = 3, x + 144 + 52t - 56 - 21t = 3, x = -85 - 31t.#
2) Умножим первое уравнение системы на (- 4). а второе уравнение на 3 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #7y - 2z = 8.# которое разрешимо в целых числах. Частное решение уравнения: #(y_{0}; z_{0}) = (2; 3).# Общее решение уравнения: # \begin{cases} y = 2 + 2t,\\ z = 3 + 7t \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Если из второго уравнения системы вычесть первое, то получим: #x + 3y - z =3, x + 6 + 6t - 3 - 7t = 3, x = t.#
3) Умножим первое уравнение системы на 2 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #9x + 18z = 25,# которое не имеет целочисленных решений.
Ð ешите в целых числах системы:
1) #\begin{cases} 3x + 3y + 5z = 1, & \\ 4x + 5y - 2z = 4; \end{cases} #
2) # \begin{cases} 3x + 2y - z = 1, & \\ 4x + 5y - 2z = 4; \end{cases} #
3) # \begin{cases} 3x + 3y + 5z = 8, & \\ 5x - 6y + 8z = 9. \end{cases} #
Решение:
1) Умножим первое уравнение системы на (- 4), а второе уравнение на 3 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #3y - 26z = 8,# которое разрешимо в целых числах. Частное решение уравнения: #(y_{0}; z_{0}) = (72; 8).# Общее решение уравнения: ## где #t \in \mathbf{Z}.# Если из второго уравнения системы вычесть первое, то получим: #x + 2y - 7z = 3, x + 144 + 52t - 56 - 21t = 3, x = -85 - 31t.#
2) Умножим первое уравнение системы на (- 4). а второе уравнение на 3 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #7y - 2z = 8.# которое разрешимо в целых числах. Частное решение уравнения: #(y_{0}; z_{0}) = (2; 3).# Общее решение уравнения: # \begin{cases} y = 2 + 2t,\\ z = 3 + 7t \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}.# Если из второго уравнения системы вычесть первое, то получим: #x + 3y - z =3, x + 6 + 6t - 3 - 7t = 3, x = t.#
3) Умножим первое уравнение системы на 2 и сложим оба уравнения. Получим диофантово уравнение #9x + 18z = 25,# которое не имеет целочисленных решений.
