Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 928
2014-03-08 
В библиотеке не более 5000 книг. Если их связывать в пачки по 5, по 6 или по 7 книг, то каждый раз остается одна лишняя книга. Аесли их связывать в пачки по 11 книг, то лишних книг не остается. Сколько книг в библиотеке?
Решение:
Пусть #x# количество книг в библиотеке. Так как #\text{НОД}(5, 6, 7) = 1, \text{НОК}(5, 6, 7) = 210, # то получаем равенство #x = 210k + 1,# одновременно удовлетворяющее условиям связывания в пачки по 5, но 6 или по 7 книг. Кроме того. #x = 11m.# Получаем днофантово уравнение #11m = 210k + 1,# или #11m - 210k = 1.# Подобрав частное #(m_{0}; k_{0}) = (-19; -1),# найдем общее решение уравнения: # \begin{cases} m = - 19 + 210t,\\ k = - 1 + 11t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}# Очевидно, что #m > 0# и #k > 0.# Отсюда получаем систему неравенств: # \begin{cases} -19 + 210t > 0,\\ -1 + 11t > 0. \end{cases}# Таким образом, #t \in \mathbf{N}.# • При #t = 1; m = 191, x = 11 \cdot 191 = 2101 < 5000.# • При #t = 2; m = 401, x = 11 \cdot 401 = 4411 < 5000.# Значения #t,# когда #t \geq 3,# не подходят, т.к. в этих случаях #x > 5000.#
В библиотеке не более 5000 книг. Если их связывать в пачки по 5, по 6 или по 7 книг, то каждый раз остается одна лишняя книга. Аесли их связывать в пачки по 11 книг, то лишних книг не остается. Сколько книг в библиотеке?
Решение:
Пусть #x# количество книг в библиотеке. Так как #\text{НОД}(5, 6, 7) = 1, \text{НОК}(5, 6, 7) = 210, # то получаем равенство #x = 210k + 1,# одновременно удовлетворяющее условиям связывания в пачки по 5, но 6 или по 7 книг. Кроме того. #x = 11m.# Получаем днофантово уравнение #11m = 210k + 1,# или #11m - 210k = 1.# Подобрав частное #(m_{0}; k_{0}) = (-19; -1),# найдем общее решение уравнения: # \begin{cases} m = - 19 + 210t,\\ k = - 1 + 11t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}# Очевидно, что #m > 0# и #k > 0.# Отсюда получаем систему неравенств: # \begin{cases} -19 + 210t > 0,\\ -1 + 11t > 0. \end{cases}# Таким образом, #t \in \mathbf{N}.# • При #t = 1; m = 191, x = 11 \cdot 191 = 2101 < 5000.# • При #t = 2; m = 401, x = 11 \cdot 401 = 4411 < 5000.# Значения #t,# когда #t \geq 3,# не подходят, т.к. в этих случаях #x > 5000.#
