Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 925
2014-03-08 
Найдите решения в целых числах уравнений:
1) #3x + 6y = 22;#
2) #6x + 9y = 2;#
3) #5x + 9y = 2;#
4) #7x + 11y = 13;#
5) #3x - 4y = 29;#
6) #11x - 12y = 58;#
7) #153x - 34y = 51.#
Решение:
1) Так как #\text{НОД}(3,6) = 3# и 22 не делится на 3, то уравнение не имеет целочисленных решений.
2) Так как #\text{НОД}(6,9) = 3# и 2 не делится на 3, то уравнение не имеет целочисленных решений.
3) #9 = 5 \cdot 1 + 4, 5 = 4 \cdot 1 + 1.# #1 = 5 - 4 = 5 - (9 - 5) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot 9, 5 \cdot 2 + 9 \cdot (-1) = 1,# отсюда #5 \cdot 4 + 9 \cdot (-2) = 2.# Частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (4; -2).# Общее решение: #\begin{cases} x = 4 - 9t, & \\ y = -2 + 5t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
4) #11 = 7 \cdot 1 + 4, 7 = 4 \cdot 1 + 3, 4 = 3 \cdot 1 + 1.# #1 = 4 - 3 = 4 - (7 -4) = 2 \cdot 4 - 7 = 2 \cdot (11 - 7) = 2 \cdot 11 - 3 \cdot 7,# #7 \cdot (-3) + 11 \cdot 2 = 1,# отсюда #7 \cdot (-39) + 11 \cdot 26 = 13.# Частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (-39; 26).# Общее решение: #\begin{cases} x = -39 -11t, &\\ y = 26+7t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
5) Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (-29; 29)# Общее решение: #\begin{cases} x = -29 +4t, &\\ y = -29+3t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
6) Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (2; 3).# Общее решение: #\begin{cases} x =2 -12t, &\\ y = 3+11t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
7) Уравнение равносильно уравнению #9x-2y=3.# Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (1; 3).# Общее решение: #\begin{cases} x = 1 +2t, &\\ y = 3+9t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
Найдите решения в целых числах уравнений:
1) #3x + 6y = 22;#
2) #6x + 9y = 2;#
3) #5x + 9y = 2;#
4) #7x + 11y = 13;#
5) #3x - 4y = 29;#
6) #11x - 12y = 58;#
7) #153x - 34y = 51.#
Решение:
1) Так как #\text{НОД}(3,6) = 3# и 22 не делится на 3, то уравнение не имеет целочисленных решений.
2) Так как #\text{НОД}(6,9) = 3# и 2 не делится на 3, то уравнение не имеет целочисленных решений.
3) #9 = 5 \cdot 1 + 4, 5 = 4 \cdot 1 + 1.# #1 = 5 - 4 = 5 - (9 - 5) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot 9, 5 \cdot 2 + 9 \cdot (-1) = 1,# отсюда #5 \cdot 4 + 9 \cdot (-2) = 2.# Частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (4; -2).# Общее решение: #\begin{cases} x = 4 - 9t, & \\ y = -2 + 5t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
4) #11 = 7 \cdot 1 + 4, 7 = 4 \cdot 1 + 3, 4 = 3 \cdot 1 + 1.# #1 = 4 - 3 = 4 - (7 -4) = 2 \cdot 4 - 7 = 2 \cdot (11 - 7) = 2 \cdot 11 - 3 \cdot 7,# #7 \cdot (-3) + 11 \cdot 2 = 1,# отсюда #7 \cdot (-39) + 11 \cdot 26 = 13.# Частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (-39; 26).# Общее решение: #\begin{cases} x = -39 -11t, &\\ y = 26+7t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
5) Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (-29; 29)# Общее решение: #\begin{cases} x = -29 +4t, &\\ y = -29+3t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
6) Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (2; 3).# Общее решение: #\begin{cases} x =2 -12t, &\\ y = 3+11t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
7) Уравнение равносильно уравнению #9x-2y=3.# Подбором находим частное решение: #(x_{0}; y_{0}) = (1; 3).# Общее решение: #\begin{cases} x = 1 +2t, &\\ y = 3+9t, & \end{cases}# где #t \in \mathbf{Z}#
