Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 922
2014-03-08 
Докажите, что если натуральные числа #a# и #b# взаимно просты, причем число #a# имеет #m# натуральных делителей, а число #b# имеет #n# натуральных делителей, то число #ab# имеет #mn# натуральных делителей.
Решение:
Обозначим делители числа #a# через #a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m},# делители числа #b# через #b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}.# Тогда #ab# делится на любое произведение #a_{1}b_{1}, a_{1}b_{2}, \cdots, a_{1}b_{n}, a_{2}b_{1}, a_{2}b_{2}, \cdots, a_{2}b_{n}, \cdots, a_{m}b_{n}# и других делителей оно не имеет. Количество делителей #ab,# как легко видеть, равно #mn.# (Заметим, что среди этих произведений окажутся и сами числа #a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n},# т.к. среди делителей чисел #a# и #b# cодержится 1.)
Докажите, что если натуральные числа #a# и #b# взаимно просты, причем число #a# имеет #m# натуральных делителей, а число #b# имеет #n# натуральных делителей, то число #ab# имеет #mn# натуральных делителей.
Решение:
Обозначим делители числа #a# через #a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m},# делители числа #b# через #b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}.# Тогда #ab# делится на любое произведение #a_{1}b_{1}, a_{1}b_{2}, \cdots, a_{1}b_{n}, a_{2}b_{1}, a_{2}b_{2}, \cdots, a_{2}b_{n}, \cdots, a_{m}b_{n}# и других делителей оно не имеет. Количество делителей #ab,# как легко видеть, равно #mn.# (Заметим, что среди этих произведений окажутся и сами числа #a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n},# т.к. среди делителей чисел #a# и #b# cодержится 1.)
