ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-08   
Пусть #a,b# и #c# - натуральные числа, причем #\text{НОД}(a,b) = 1.# Докажите, что если #ab = c^{n},#, то найдутся такие натуральные #x# и #y#, что #a = x^{n}, b = y^{n}.#.


Решение:


Пусть #c = p_{1}^{\gamma_{1}} \cdot p_{2}^{\gamma_{2}} \cdot \cdot \cdots \cdot p_{k}^{\gamma_{k}} \cdot # - каноническое разложение #c.# Так как #\text{НОД} (a,b) = 1,# то каждое простое #p_{i}# входит либо в разложение #a,# либо в разложение #b,# но не в оба одновременно. Без ограничения общности можно считать, что #p_{1}, \cdots, p_{s}# входят в разложение #a,# a #p_{s+1}, \cdots, p_{k}# - в разложение #b.# Пусть #a = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \cdots \cdot p_{s}^{\alpha_{s}}, b = p_{s+1}^{eta_{s+1}} \cdot p_{s+2}^{\beta_{s+2}} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{\beta_{k}}.# Тогда #p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \cdots \cdot p_{s}^{\alpha_{s}} \cdot p_{s+1}^{eta_{s+1}} \cdot p_{s+2}^{\beta_{s+2}} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{\beta_{k}} = p_{1}^{n \gamma_{1}} \cdot p_{2}^{n \gamma_{2}} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{n \gamma_{k}}.# Из единственности канонического разложения получаем, что #\alpha_{i} = n \gamma_{i}# и #\beta_{j} = n \gamma_{j}#. Поэтому достаточно положить #x = p_{1}^{\gamma_{1}} \cdot p_{2}^{\gamma_{2}} \cdot \cdots \cdot p_{s}^{gamma_{s}}, y = p_{s+1}^{\gamma_{s+1}} \cdot p_{s+2}^{\gamma_{s+2}} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{gamma_{k}}.#