Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 910
2014-03-08 
Докажите, что наименьшее общее кратное натуральных чисел #1, 2, \cdots, 2n-1, 2n# совпадает с наименьшим общим кратным чисел #n +1 , n+2, \cdots, 2n.#.
Решение:
Имеются две возможности: #n = 2n_{1}# и #n = 2n_{1}+1.# Если #n = 2n_{1}# то, рассмотрев набор чисел #1, 2, \cdots, n_{1}, n_{1} +1, \cdots, 2n_{1}, 2n_{1} + 1, 2 \cdot (n_{1} + 1), \cdots, 4n_{1},# можно заметить, что #\text{НОК}(n_{q} + 1, n_{1} + 2, \cdots, 2n) = \text{НОК}(n + 1, n + 2, \cdots, 2n).# (Действительно, числа #n_{1} + 1, n_{1} + 2, \cdots, 2n_{1}# в два раза меньше соответствующих чисел #2n_{1} + 2, 2n_{1} + 4, \cdots, 4n_{1}# , входящих в набор #n+1, n+2, \cdots, 2n)# Если #n = 2n_{1} + 1,# то, рассмотрев набор чисел #1,2, \cdots, n_{1}, n_{1} + 1, \cdots, 2n_{1} + 2, 2 \cdot (n_{1} + 1), \cdots, 2 \cdot (2n_{1} + 1),# можно заметить, что #\text{НОК} (n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n +2, \cdots, 2n).# (Действительно, числа #n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n_{1} +1# в два раза меньше соответствующих чисел #2n_{1} + 2, 2n_{1} + 4, \cdots, 4n_{1} + 2.# входящих в набор #n + 1, n + 2, \cdots, 2n#. Для #n_{1}# вновь имеются две возможности: и #n_{1} = 2n_{2}# Тогда можно (аналогично рассмотренным выше случаям) заметить, что #n_{1} = 2n_{2} + 1.# И так далее. В итоге получим конечную убывающую последовательность натуральных чисел #\text{НОК} (n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n + 2, \cdots, 2n). # Причем для каждого #n > n_{1} > n_{2} > n_{3} > \cdots# из этой последовательности будет выполняться: #\text{НОК} (n_{i+1} + 1, n_{i+2} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n +2, \cdots, 2n).# При #n_{i} = 1# получим #\text{НОК} (2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n+1, n+2, \cdots, 2n),# а значит, наименьшее оощее кратное чисел #1, 2, \cdots, 2n - 1, 2n# совпадает с наименьшим общим кратным чисел #n + 1, n + 2, \cdots, 2n#
Докажите, что наименьшее общее кратное натуральных чисел #1, 2, \cdots, 2n-1, 2n# совпадает с наименьшим общим кратным чисел #n +1 , n+2, \cdots, 2n.#.
Решение:
Имеются две возможности: #n = 2n_{1}# и #n = 2n_{1}+1.# Если #n = 2n_{1}# то, рассмотрев набор чисел #1, 2, \cdots, n_{1}, n_{1} +1, \cdots, 2n_{1}, 2n_{1} + 1, 2 \cdot (n_{1} + 1), \cdots, 4n_{1},# можно заметить, что #\text{НОК}(n_{q} + 1, n_{1} + 2, \cdots, 2n) = \text{НОК}(n + 1, n + 2, \cdots, 2n).# (Действительно, числа #n_{1} + 1, n_{1} + 2, \cdots, 2n_{1}# в два раза меньше соответствующих чисел #2n_{1} + 2, 2n_{1} + 4, \cdots, 4n_{1}# , входящих в набор #n+1, n+2, \cdots, 2n)# Если #n = 2n_{1} + 1,# то, рассмотрев набор чисел #1,2, \cdots, n_{1}, n_{1} + 1, \cdots, 2n_{1} + 2, 2 \cdot (n_{1} + 1), \cdots, 2 \cdot (2n_{1} + 1),# можно заметить, что #\text{НОК} (n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n +2, \cdots, 2n).# (Действительно, числа #n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n_{1} +1# в два раза меньше соответствующих чисел #2n_{1} + 2, 2n_{1} + 4, \cdots, 4n_{1} + 2.# входящих в набор #n + 1, n + 2, \cdots, 2n#. Для #n_{1}# вновь имеются две возможности: и #n_{1} = 2n_{2}# Тогда можно (аналогично рассмотренным выше случаям) заметить, что #n_{1} = 2n_{2} + 1.# И так далее. В итоге получим конечную убывающую последовательность натуральных чисел #\text{НОК} (n_{1} + 1, n_{1} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n + 2, \cdots, 2n). # Причем для каждого #n > n_{1} > n_{2} > n_{3} > \cdots# из этой последовательности будет выполняться: #\text{НОК} (n_{i+1} + 1, n_{i+2} +2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n + 1, n +2, \cdots, 2n).# При #n_{i} = 1# получим #\text{НОК} (2, \cdots, 2n) = \text{НОК} (n+1, n+2, \cdots, 2n),# а значит, наименьшее оощее кратное чисел #1, 2, \cdots, 2n - 1, 2n# совпадает с наименьшим общим кратным чисел #n + 1, n + 2, \cdots, 2n#
