Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 91
2014-06-07 
Множество чисел $1, 2, \cdots , 100$ разбито на 7 подмножеств. Доказать, что хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся или 4 числа $a, b, c ,d$ для которых $a + b = c + d$, или 3 числа $e, f, g$, для которых $e + f = 2g$.
Решение:
Заметим, что хотя бы в одном из 7 подмножеств содержится не менее 15 чисел (в противном случае во всех подмножествах вместе содержалось бы не более 7-14 = 98 чисел). Каждой паре чисел $a > b$ из этого подмножества поставим в соответствие разность $a - b$. Тогда всего получится не менее
$ C^{2}_{15}= 15 \cdot 14/2 = 105$
разностей, среди которых обязательно найдутся одинаковые (так как величина разности может принимать не более 99 значений $1,2, \cdots , 99$). Пусть оказалось, что для двух пар чисел $a > b$ и $c > d$ выполнено равенство $a –b = c – d$ (откуда $a \neq c, b \neq d$), тогда $a + d = b + c$. Если же при этом $a = d$ (или $b = c$; других совпадений быть не может), то $b + c=2a$ (или $a + d = 2b$). Утверждение задачи доказано.
Множество чисел $1, 2, \cdots , 100$ разбито на 7 подмножеств. Доказать, что хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся или 4 числа $a, b, c ,d$ для которых $a + b = c + d$, или 3 числа $e, f, g$, для которых $e + f = 2g$.
Решение:
Заметим, что хотя бы в одном из 7 подмножеств содержится не менее 15 чисел (в противном случае во всех подмножествах вместе содержалось бы не более 7-14 = 98 чисел). Каждой паре чисел $a > b$ из этого подмножества поставим в соответствие разность $a - b$. Тогда всего получится не менее
$ C^{2}_{15}= 15 \cdot 14/2 = 105$
разностей, среди которых обязательно найдутся одинаковые (так как величина разности может принимать не более 99 значений $1,2, \cdots , 99$). Пусть оказалось, что для двух пар чисел $a > b$ и $c > d$ выполнено равенство $a –b = c – d$ (откуда $a \neq c, b \neq d$), тогда $a + d = b + c$. Если же при этом $a = d$ (или $b = c$; других совпадений быть не может), то $b + c=2a$ (или $a + d = 2b$). Утверждение задачи доказано.
