Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 900
2014-03-08 
Докажите, что дробь является несократимой для всех #n \in \mathbf{N}#
1) #\frac{2n^{2}-1}{2n+1};#
2) #\frac{n^{2} + n -1}{n^{2} + 2n}.#
Решение:
1) Ð ешение. Предположим, что дробь сократима и #d = \text{НОД}(2n^{2} - 1, 2n + 1), d \neq 1.# Тогда #d# является делителем числа #c = (2n+1)^{2} - 2 \cdot (2n^{2} -1) - 2 \cdot (2n+1),# но #c = 4n^{2} + 4n + 1 - 4n^{2} + 2 - 4n - 2 = 1.# Следовательно, #d = 1.# Противоречие.
2) Ð ешение. Предположим, что дробь сократима и #d = \text{НОД}(n^{2} + n - 1, n^{2} + 2n), d \neq 1.# Тогда #d# является делителем числа ## но #c = 1# Следовательно. #d = 1# Противоречие.
Докажите, что дробь является несократимой для всех #n \in \mathbf{N}#
1) #\frac{2n^{2}-1}{2n+1};#
2) #\frac{n^{2} + n -1}{n^{2} + 2n}.#
Решение:
1) Ð ешение. Предположим, что дробь сократима и #d = \text{НОД}(2n^{2} - 1, 2n + 1), d \neq 1.# Тогда #d# является делителем числа #c = (2n+1)^{2} - 2 \cdot (2n^{2} -1) - 2 \cdot (2n+1),# но #c = 4n^{2} + 4n + 1 - 4n^{2} + 2 - 4n - 2 = 1.# Следовательно, #d = 1.# Противоречие.
2) Ð ешение. Предположим, что дробь сократима и #d = \text{НОД}(n^{2} + n - 1, n^{2} + 2n), d \neq 1.# Тогда #d# является делителем числа ## но #c = 1# Следовательно. #d = 1# Противоречие.
