Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 894
2014-03-07 
Докажите, что если числа #a# и #b# взаимно просты, то #\text{НОД} (ac,b) = \text{НОД} (c,b).#
Решение:
Пусть #\text{НОД}(c,b) = d, \text{НОД}(ac,b) = d_{1}.# Тогда существуют такие целые числа #u,v,x,y# что #uc + vb = d,# #xac + yb = d_{1}.# Кроме того, по условию #\text{НОД}(a,b) = 1,# т.е. существуют такие целые числа #p# и #q,# что #pa + qb = 1.# Так как каждое из чисел #b# и #c# делится на #d,# то равенство #xac + yb = d_{1}# показывает, что #d_{1}# делится на #d.# С другой стороны. #d = uc + vb = uc \cdot (pa + qb) + vb = ac \cdot (up) + b \cdot (ucq + v),# откуда видно, что #d# делится на #d_{1}.# Следовательно, #d_{1}=d.#
Докажите, что если числа #a# и #b# взаимно просты, то #\text{НОД} (ac,b) = \text{НОД} (c,b).#
Решение:
Пусть #\text{НОД}(c,b) = d, \text{НОД}(ac,b) = d_{1}.# Тогда существуют такие целые числа #u,v,x,y# что #uc + vb = d,# #xac + yb = d_{1}.# Кроме того, по условию #\text{НОД}(a,b) = 1,# т.е. существуют такие целые числа #p# и #q,# что #pa + qb = 1.# Так как каждое из чисел #b# и #c# делится на #d,# то равенство #xac + yb = d_{1}# показывает, что #d_{1}# делится на #d.# С другой стороны. #d = uc + vb = uc \cdot (pa + qb) + vb = ac \cdot (up) + b \cdot (ucq + v),# откуда видно, что #d# делится на #d_{1}.# Следовательно, #d_{1}=d.#
