Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 890
2014-03-07 
Докажите, что если числа #a# и #b# являются взаимно простыми, то #\text{НОД} (a+b,a-b)# равен либо 1, либо 2. Приведите пример таких взаимно простых чисел #a# и #b,# что #\text{НОД} (a+b,a-b) = 2.#
Решение:
Пусть #d =\text{НОД} (a+b, a-b).# Тогда #d# делит сумму и разность чисел #a+b# и #a-b,# т.е. #d | (2a)# и #d| (2b).# Если #d##d|a#счетно. т.е. взаимно просто с 2, то #d|b,# и #d = 1.# откуда #d# Если #d = 2d_{1},# четно, т.е. #d_{1}|a# тогда #d_{1}|b.# и #d_{1} = 1# Отсюда #d = 2.# и потому ## Если оба числа #a# и #b# нечетны, например, #a=9, b =5,# то #\text{НОД}(a+b,a-b) = 2.#
Докажите, что если числа #a# и #b# являются взаимно простыми, то #\text{НОД} (a+b,a-b)# равен либо 1, либо 2. Приведите пример таких взаимно простых чисел #a# и #b,# что #\text{НОД} (a+b,a-b) = 2.#
Решение:
Пусть #d =\text{НОД} (a+b, a-b).# Тогда #d# делит сумму и разность чисел #a+b# и #a-b,# т.е. #d | (2a)# и #d| (2b).# Если #d##d|a#счетно. т.е. взаимно просто с 2, то #d|b,# и #d = 1.# откуда #d# Если #d = 2d_{1},# четно, т.е. #d_{1}|a# тогда #d_{1}|b.# и #d_{1} = 1# Отсюда #d = 2.# и потому ## Если оба числа #a# и #b# нечетны, например, #a=9, b =5,# то #\text{НОД}(a+b,a-b) = 2.#
