Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 89
2014-06-07 
Натуральные числа $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ при делении на некоторое число $m \in \mathbf{N}$ дают разные остатки, причем $n > m/2$. Доказать, что для каждого числа $k \in \mathbf{Z}$ существуют такие номера
$i,j \in {1; \cdots ; n}$
(не обязательно различные), что число $a_{i} + a_{j} – k$ делится на $m$.
Решение:
Рассмотрим $2n$ чисел
$a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}, k – a_{1}, k – a_{2}, \cdots , k – a_{n}$,
Так как $2n > m$, то хотя бы два из них дают при делении на $m$ одинаковые остатки. По условию задачи числа $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$ имеют разные остатки от деления на т, откуда получаем, что числа
$k – a_{1}, k – a_{2}, \cdots , k – a_{n}$
также имеют разные остатки. Поэтому пару чисел с одинаковыми остатками могут образовывать только числа вида $a_{j}, k – a_{j}$ (для некоторых номеров $i, j$). Тогда разность этих чисел $a_{i} + a_{j} – k$ делится на $m$, что и требовалось доказать.
Натуральные числа $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ при делении на некоторое число $m \in \mathbf{N}$ дают разные остатки, причем $n > m/2$. Доказать, что для каждого числа $k \in \mathbf{Z}$ существуют такие номера
$i,j \in {1; \cdots ; n}$
(не обязательно различные), что число $a_{i} + a_{j} – k$ делится на $m$.
Решение:
Рассмотрим $2n$ чисел
$a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}, k – a_{1}, k – a_{2}, \cdots , k – a_{n}$,
Так как $2n > m$, то хотя бы два из них дают при делении на $m$ одинаковые остатки. По условию задачи числа $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$ имеют разные остатки от деления на т, откуда получаем, что числа
$k – a_{1}, k – a_{2}, \cdots , k – a_{n}$
также имеют разные остатки. Поэтому пару чисел с одинаковыми остатками могут образовывать только числа вида $a_{j}, k – a_{j}$ (для некоторых номеров $i, j$). Тогда разность этих чисел $a_{i} + a_{j} – k$ делится на $m$, что и требовалось доказать.
