Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 884
2014-03-07 
Докажите, что число #97! \cdot 1905! - 1# делится на 2003.
Решение:
Число 2003 простое. Тогда #97! \cdot 1905! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 1905 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 97 \equiv 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 1905 \cdot (-2002) \cdot (-2001) \cdot \cdots \cdot (-1906) = (-1)^{97} \cdot 2002! = -(2002!) \equiv (\text{теорема Вильсона}) \equiv 1 (\ mod 2003).# Следовательно, #97! \cdot 1905! - 1 \equiv 0 (\mod 2003).#
Докажите, что число #97! \cdot 1905! - 1# делится на 2003.
Решение:
Число 2003 простое. Тогда #97! \cdot 1905! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 1905 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 97 \equiv 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 1905 \cdot (-2002) \cdot (-2001) \cdot \cdots \cdot (-1906) = (-1)^{97} \cdot 2002! = -(2002!) \equiv (\text{теорема Вильсона}) \equiv 1 (\ mod 2003).# Следовательно, #97! \cdot 1905! - 1 \equiv 0 (\mod 2003).#
