Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 880
2014-03-02 
Докажите признак делимости на 9: «Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9».
Решение:
Необходимость. Пусть число #\overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}}# делится на 9, требуется доказать, что сумма его цифр #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}# делится на 9. Действительно, #10 \equiv 1 (\mod 9), 10^{2} \equiv 1 (\mod 9), \cdots, 10^{n-1} \equiv 1 (\mod 9).# Поэтому #\overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n-1}a_{n}} = a_{1} \cdot 10^{n - 1} + a_{2} \cdot 10^{n - 2} + \cdots + a_{n-1} \cdot 10^{1} + a_{n} \cdot 10^{0} \equiv# Необходимость доказана. Достаточность. Пусть сумма цифр #\equiv a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1} + a_{n} (\mod 9).# числа делится на 9, требуется доказать, что число #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}# также делится на 9. Действительно, #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1} + a_{n} equiv a_{1} \cdot 10^{n-1} + a_{2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \cdot 10^{1} + a_{n} \cdot 10^{0} = \overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n-1}a_{n}} (\mod 9).# Достаточность доказана.
Докажите признак делимости на 9: «Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9».
Решение:
Необходимость. Пусть число #\overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}}# делится на 9, требуется доказать, что сумма его цифр #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}# делится на 9. Действительно, #10 \equiv 1 (\mod 9), 10^{2} \equiv 1 (\mod 9), \cdots, 10^{n-1} \equiv 1 (\mod 9).# Поэтому #\overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n-1}a_{n}} = a_{1} \cdot 10^{n - 1} + a_{2} \cdot 10^{n - 2} + \cdots + a_{n-1} \cdot 10^{1} + a_{n} \cdot 10^{0} \equiv# Необходимость доказана. Достаточность. Пусть сумма цифр #\equiv a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1} + a_{n} (\mod 9).# числа делится на 9, требуется доказать, что число #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}# также делится на 9. Действительно, #a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1} + a_{n} equiv a_{1} \cdot 10^{n-1} + a_{2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \cdot 10^{1} + a_{n} \cdot 10^{0} = \overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n-1}a_{n}} (\mod 9).# Достаточность доказана.
