ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-02-14   
Докажите, что ни при каком натуральном #r,# число #1 + 2 + \cdots + n# не может заканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.


Решение:


#1 + 2 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}.# Так как нас интересует
последняя цифра, рассмотрим сравнение по модулю 10:

#n#	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
#n+1#	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
#n cdot (n +1)#	0	2	6	2	0	0	2	6	2	0

Так как число #n \cdot (n+1)# четное, то но свойству сокращения сравнений имеем:

1) #n \cdot (n+1) \equiv 2 (\mod 10) \Rightarrow \frac{n \cdot (n+1)}{2} \equiv 0 (\mod 5).# Значит в этом случае последняя цифра числа #\frac{n \cdot (n+1)}{2}# может быть 0 или 5.

2) #n \cdot (n+1) \equiv 2 (\mod 10) \Rightarrow \frac{n \cdot (n+1)}{2} \equiv 1 (\mod 5).# Значит, в этом случае последняя цифра числа #\frac{n \cdot (n+1)}{2}# может быть 1 или 6.

3) #n \cdot (n+1) equiv 6 (\mod 10) \Rightarrow \frac{n \cdot (n+1)}{2} \equiv 3 (\mod 5).# Значит, в этом случае последняя цифра числа #\frac{n \cdot (n+1)}{2}# может быть 3 или 8.
Итак, число вида #1 + 2 + \cdots + n# может заканчиваться лишь на следующие цифры: 0, 1,3, 5, 6, 8. Утверждение доказано.