Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 875
2014-03-02 
Докажите, что при любых целых #a# и #b# число #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# делится на 15.
Решение:
Покажем вначале, что #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# делится на 3. #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) = ab \cdot (a-b) \cdot (a+b).# Возможны следующие варианты:
1) тогда #b \equiv 0 (\mod 3),# делится на 3;
2) #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# тогда #b \equiv 1 (\mod 3),# но #ab \cdot (a-b) \cdot (a+b) \equiv a \cdot (a - 1) \cdot (a + 1) (\mod 3),# делится на 3, значит, #a \cdot (a - 1) \cdot (a + 1)# также делится на 3:
3) #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# тогда #b \equiv 2 (\mod 3),# но #ab \cdot (a-b) \cdot (a+b) \equiv a \cdot (a - 2) \cdot (a + 2) \equiv 2a \cdot (a+1) \cdot (a+2) (\mod 3),# делится на 3. значит, #a \cdot (a+1) \cdot (a+2)# также делится на 3. Итак, #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# всегда делится на 3. Теперь докажем, что число #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# делится на 5. #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# Возможны варианты:
1) #b \equiv 0 (\mod 5)# , тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5);#
2) #b \equiv 1 (\mod 5)# . тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv a \cdot (a-1) \cdot (a+1) \cdot (2a - 1) \cdot (2a + 1) \equiv a \cdot (a-1) \cdot (a+1) \cdot (2a + 4) \cdot (2a - 4) \equiv 4 \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \equiv 0 (\mod 5);#
3) #b \equiv 2 (\mod 5),# тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 2a \cdot (a-2) \cdot (a+2) \cdot (2a - 2) \cdot (2a + 2) \equiv 8 \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \equiv 0 (\mod 5);#
4) #b \equiv -2 (\mod 5),# тогда получаем (аналогично предыдущему случаю): #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5);#
5) #b \equiv -1 (\mod 5),# тогда получаем (аналогично случаю 2): #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5).# Итак, #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# всегда делится на 5.
Поскольку числа 3 и 5 взаимно просты, число #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# делится на 15.
Докажите, что при любых целых #a# и #b# число #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# делится на 15.
Решение:
Покажем вначале, что #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# делится на 3. #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) = ab \cdot (a-b) \cdot (a+b).# Возможны следующие варианты:
1) тогда #b \equiv 0 (\mod 3),# делится на 3;
2) #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# тогда #b \equiv 1 (\mod 3),# но #ab \cdot (a-b) \cdot (a+b) \equiv a \cdot (a - 1) \cdot (a + 1) (\mod 3),# делится на 3, значит, #a \cdot (a - 1) \cdot (a + 1)# также делится на 3:
3) #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# тогда #b \equiv 2 (\mod 3),# но #ab \cdot (a-b) \cdot (a+b) \equiv a \cdot (a - 2) \cdot (a + 2) \equiv 2a \cdot (a+1) \cdot (a+2) (\mod 3),# делится на 3. значит, #a \cdot (a+1) \cdot (a+2)# также делится на 3. Итак, #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# всегда делится на 3. Теперь докажем, что число #ab \cdot (a^{2} - b^{2})# делится на 5. #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# Возможны варианты:
1) #b \equiv 0 (\mod 5)# , тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5);#
2) #b \equiv 1 (\mod 5)# . тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv a \cdot (a-1) \cdot (a+1) \cdot (2a - 1) \cdot (2a + 1) \equiv a \cdot (a-1) \cdot (a+1) \cdot (2a + 4) \cdot (2a - 4) \equiv 4 \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \equiv 0 (\mod 5);#
3) #b \equiv 2 (\mod 5),# тогда #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 2a \cdot (a-2) \cdot (a+2) \cdot (2a - 2) \cdot (2a + 2) \equiv 8 \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \equiv 0 (\mod 5);#
4) #b \equiv -2 (\mod 5),# тогда получаем (аналогично предыдущему случаю): #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5);#
5) #b \equiv -1 (\mod 5),# тогда получаем (аналогично случаю 2): #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2}) \equiv 0 (\mod 5).# Итак, #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# всегда делится на 5.
Поскольку числа 3 и 5 взаимно просты, число #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# делится на 15.
