Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 874
2014-03-02 
Существует ли такое натуральное #\underbrace{111 \cdots 11}_{n \text{цифр}}#, что число #a# делится на 217?
Решение:
Ð ассмотрим числа #1, 11, 111 \cdots, \underbrace{111 \cdots 11}_{218 \: цифр}.# Каждое из них имеет какой-то остаток ог деления на 21 7. Так как остатков от деления на 217 имеется 217 (т.е. 0, 1,2, ... , 216), а чисел рассматривается 218, то среди них найдутся два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 217. Пусть, например, #\underbrace{111 \cdots 11}_{k \: цифр}. \equiv \underbrace{111 \cdots 11}_{(k+1) \: цифр} (\mod 217).# Тогда разность этих чисел делится на 217. Подписав первое число иод вторым и произведя вычитание «в сюлбик», получим число #\underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}\underbrace{000 \cdots 00}_{k \: цифр} = 10^{k} \cdot \underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}.# По докатанному выше это число делится на 217. Так как числа #10^{k}# и 217 взаимно просты, то число #\underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}# должно делиться на 21 7. Итак, существует такое натуральное #n#, что число #underbrace{111 cdots 11}_{n : цифр}# делится на 217. Замечание. Можно даже утверждать, что существует число, записываемое не более, чем 217 единицами, и делящееся на 217.
Существует ли такое натуральное #\underbrace{111 \cdots 11}_{n \text{цифр}}#, что число #a# делится на 217?
Решение:
Ð ассмотрим числа #1, 11, 111 \cdots, \underbrace{111 \cdots 11}_{218 \: цифр}.# Каждое из них имеет какой-то остаток ог деления на 21 7. Так как остатков от деления на 217 имеется 217 (т.е. 0, 1,2, ... , 216), а чисел рассматривается 218, то среди них найдутся два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 217. Пусть, например, #\underbrace{111 \cdots 11}_{k \: цифр}. \equiv \underbrace{111 \cdots 11}_{(k+1) \: цифр} (\mod 217).# Тогда разность этих чисел делится на 217. Подписав первое число иод вторым и произведя вычитание «в сюлбик», получим число #\underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}\underbrace{000 \cdots 00}_{k \: цифр} = 10^{k} \cdot \underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}.# По докатанному выше это число делится на 217. Так как числа #10^{k}# и 217 взаимно просты, то число #\underbrace{111 \cdots 11}_{l \: цифр}# должно делиться на 21 7. Итак, существует такое натуральное #n#, что число #underbrace{111 cdots 11}_{n : цифр}# делится на 217. Замечание. Можно даже утверждать, что существует число, записываемое не более, чем 217 единицами, и делящееся на 217.
