2022-10-26
Решить уравнение
$\frac{x}{y} = \frac{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } + 1 }{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } -1}$.
во множестве натуральных чисел.
Решение:
Проделаем следующие преобразования данного уравнения:
$x(x^{2} - y^{2})^{ \frac{y}{x} } - x = y(x^{2} - y^{2})^{ \frac{y}{x} } + y$,
$(x^{2} - y^{2})^{ \frac{y}{x} } (x - y) = x + y$,
$(x - y)^{ \frac{y}{x} + 1} (x + y)^{ \frac{y}{x} } = x + y$,
$(x - y)^{ \frac{y}{x} + 1 } =(x + y)^{1 - \frac{y}{x}}$,
$(x - y)^{ \frac{x+y}{x} } = (x + y)^{ \frac{x - y}{x} }$,
$(x - y)^{x+y} = (x + y)^{x-y}$,
$(x - y)^{ \frac{1}{x - y} } = (x + y)^{ \frac{1}{x + y}}$.
Заметим, что из условия следует, что $x-y > 0$, следовательно,
$ln (x - y)^{ \frac{1}{x - y} } = ln (x + y)^{ \frac{1}{x + y}}$,
$\frac{ln z}{z} = \frac{ln t}{t}$,
где $z = x - y, t = x + y$.
Рассмотрим функцию $f(t) = \frac{ln t}{t}$. Найдем ее производную
$f^{ \prime}(t) = \frac{1-lnt}{t^{2} }$.
Она обращается в 0 в точке $t = e$, при $0 < t < e$ $f^{ \prime}(t) > 0$, при $t > e f^{ \prime}(t) < 0$. Следовательно, при $0 < t < ef(t)$ строго возрастает, а при $t > e$ строго убывает. Следовательно, если $f(t_{1}) = f(t_{2})$ и $t_{1} < t_{2}$, то $0 < t_{1} < e, t_{2} > e$. Возвращаясь к нашему уравнению, видим, что так как $z = z - y < x + y = t$, то $z < e < 3$. Но $z$ -натуральное число. Следовательно, либо а) $x - y = 1$, либо б) $x - y = 2$.
а) Если $x - y = 1$, то
$1^{x+y} = (x + y)^{1}$,
откуда $x + y = 1$ к $y = 0$. Получили противоречие,
б) Если $x - y = 2$, то
$2^{x+y} = (x + y)^{2}$.
Но при $n > 4$ $2^{n} > n^{2}$. Действительно, $2^{5} = 32 > 5^{2} = 25$. Пусть наше утверждение верно при $5 \leq k \leq n$. Тогда $2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n} > 2n^{2} > (n + 1)^{2}$, поскольку при $n \geq 5$
$\frac{(n + 1)^{2}}{2n^{2} } = \frac{1}{2} \left ( \frac{n + 1}{n} \right )^{2} = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{2} \leq \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{1}{5} \right )^{2} < 1$.
Следовательно, $2 < x + y \leq 4$. Непосредственная проверка показывает, что $x + y = 3$ не подходит, а $x + y = 4$ подходит. Следовательно, $x - y = 2, x + y = 4$, откуда $x = 3, y = 1$.