2022-10-26
Найти все решения уравнения
$4^{x} + 4^{y} + 4^{z} = u^{2}$
во множестве целых чисел.
Решение:
Предположим, что $x \leq y \leq z$. Тогда $4^{x}$ делит $4^{y}$ и $4^{z}$, а следовательно, и $u^{2}$. Так как $4^{x} = (2^{x} )^{2}$, то $\frac{u^{2}}{4^{x} } = v^{2}$, где $v$ - целое число. Разделив данное уравнение на $4^{x}$, получим:
$1 + 4^{y-x} + 4^{z-x} = v^{2}$.
Заметим, что в левой части этого уравнения стоит четное число лишь тогда, когда $x = y, z > x$ или $y > x, z = x$. Так как последнее невозможно, то в левой части четное число может быть лишь в случае $x = y, z > x$. Тогда
$2 + 4^{z-x} = v^{2}$.
Следовательно, $v = 2t$ - четное число. Но тогда $v^{2}$ делится на 4, а $2 + 4^{z-x}$ не делится. Получили противоречие
Следовательно, число $1 + 4^{y-x} + 4^{z-x} = v^{2}$ - нечетно, значит, $v$ тоже нечетное число. Представим $v$ в виде $v = 1 + 2^{m}t$, где $t$ - нечетное число. Тогда
$1 + 4^{y-x} + 4^{z-x} = (1 + 2^{m}t)^{2}$
или
$4^{y-x} + 4^{z-x} = 2 \cdot 2^{m}t + (2^{m}t)^{2}$,
$4^{y-x} + 4^{z-x} = 2^{m+1}t (1 + 2^{m-1}t)$.
Вынесем в левой части за скобку $4^{y-x}$.
$4^{y-x} (1 + 4^{z-y}) = 2^{m+1}t (2^{m-1}t + 1)$,
$2^{2y-2x} (1 + 4^{z-y}) = 2^{m+1}t( 2^{m-1}t + 1)$.
Число $1 + 4^{z-y}$ четно лишь в случае $z = y$, тогда
$2^{2y-2x} (1 + 4^{z-y}) = 2^{2y - 2x +1}$,
$2^{2y-2x+1} = 2^{m+1}t (2^{m-1}t + 1)$.
Поскольку $t$ нечетно, то $t = 1$, т. е. при $z = y$ $t = 1$, отсюда
$2^{2y - 2x + 1} = 2^{m+1} (2^{m-1} + 1)$.
При $m > 1$ $2^{m-1} + 1$ - нечетное число, большее 1. Значит, $m = 1$. Следовательно, $2^{2y-2x-+1} = 2^{3}$, откуда $2y - 2x + 1 = 3$ и $y = z = x + 1$. Но $4^{x} + 4^{x+1} + 4^{x+1} = (2^{x} \cdot З)^{2}$, т. е. при любом $x \geq 0$ ($x, x + 1, x + 1, 3 \cdot 2x$) - решение данного уравнения.
Пусть теперь $z > y$, тогда число $1 + 4^{z-y}$ нечетно, и из равенства
$2^{2y - 2x} (1 + 4^{z-y}) = 2^{m+1} (1 + 2^{m-1}t)$
следует, что при $m > 1, 2y - 2x = m + 1$,
$1 + 4^{z-y} = t (1 + 2^{m-1}t)$,
$1 + 4^{z-y} = t (1 + 2^{2y-2x-2}t)$,
$1 + 4^{z-y} = t + 4^{y-x-1}t^{2}$,
$t - 1 = 4^{y-x-1} (4^{z-2y+x+1} - t^{2})$,
$t - 1 = 4^{y-x-1}(2^{z-2y+x+1} + t)(2^{z-2y+x+1} - t)$.
Но, если последнее выражение не равно нулю, получим противоречие, так как в этом случае
$t - 1 < t < 2^{z-2y+x+1} + t$
тем более
$t - 1 < 4^{y-x-1}(2^{z-2y+x+1} + 1) (2^{z-2y + x +1 } -t)$,
поскольку $4^{y-x-1}(2^{z - 2y + x + 1} - t) = 2^{z-x-1} - 4^{y-x-1}t $ - натуральное число.
Следовательно,
$4^{y-x-1} (2^{z-2y+x+1} + t) (2^{z-2y+x+1} - t) = 0$.
Но, очевидно, $4^{y-x-1} > 0, 2^{z-2y+x+1} + t > 0$. Следовательно,
$t = 2^{z-2y+x+1}$.
Но $t$ нечетно. Следовательно, $t = 1$ и
$z - 2y + x + 1 = 0, z = 2y - x + 1$.
С другой стороны,
$4^{x} + 4^{y} + 4^{2y - x- 1} = (2^{x} + 2^{2y -x- 1})^{2}$.
Таким образом, любая четверка целых чисел ($x, y, 2x - y - 1, 2^{x} + 2^{2y-x-1})$, где $x \geq 0, y \geq 0, 2x - y - 1 \geq 0$, является решением данного уравнения. Заметим также, что при $y = x + 1, 2y - x - 1 = x + 1$, т. е. среди решений вида ($x, y, 2x-y, 2^{x} +2^{2y-x-1}$) содержатся и все решения вида ($x, x + 1, x + 1, 3 \cdot 2^{x}$), полученные раньше.
Случай $m = 1, x < t < z$ оставляем читателю.
Итак, данное уравнение имеет следующие решения во множестве целых чисел:
$\{ (x, y, 2x - y - 1, 2^{x} + 2^{2y-x-1}) | x \in Z, y \in Z, x \geq 0, y \geq 0, 2x - y - 1 \geq 0 \}$.