2022-10-26
В круге проведено $n$ хорд, которые пересекаются внутри круга в $m$ точках, причем точка пересечения хорд считается $k$ раз, если через нее проходит $k + 1$ хорда. На сколько частей эти хорды делят круг?
Решение:
Докажем, что хорды делят круг на $m + n + 1$ частей. Доказывать будем методом математической индукции по числу хорд. Ясно, что одна хорда делит круг на две части и что в этом случае $m = 0$. Предположим, что для $n - 1$ хорд утверждение доказано. Пусть у нас есть $n$ хорд в круге, пересекающихся в $m$ точках внутри круга. Изъяв одну из хорд, получим $n - 1$ хорд и $m_{1}$ точек пересечения. Эти $n - 1$ хорды по предположению индукции делят круг на $n + m$ частей. Хорда, изъятая нами, пересекалась с остальными хордами в $m-m_{1}$ точках. Она делится этими точками на $m - m_{1} + 1$ частей, каждая из которых является границей между двумя частями круга, на которые он делится $n$ хордами. Таким образом, после изъятия хорды $2 (m-m_{1} + 1)$ частей круга попарно объединились, образовав $m-m_{1}+ 1$ частей. Следовательно, число частей, на которые круг делится $n$ хордами, равно $(n + m_{1}) + (m - m_{1} + 1) = n + m + 1$, что и требовалось доказать.