Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 870
2014-03-02 
Ð ешите сравнения: 1) #2x + 1 \equiv 0 (\mod 7);#
2) #2x - 3 \equiv 0 (\mod 7);#
3) #2x + 3 \equiv 0 (\mod 6);#
4) #x^{2} \equiv -1 (\mod 13);#
5) #x^{2} \equiv -1 (\mod 11);#
6) #x^{2} \equiv 2 (\mod 31);#
7) #2x^{2} + 3x + 1 \equiv 0 (\mod 5);#
8) #2x^{2} + 4x + 2 \equiv 0 (\mod 8);#
Решение:
1) Первый способ. Так как #2x + 1 \equiv 0 (\mod 7),# то #2x \equiv -1 (\mod 7),# т.е. #2x \equiv 6 (\mod 7).# Отсюда Второй способ. Составим таблицу сравнений по модулю 7:
из таблицы видно, что #x \equiv 3 (\mod 7).# является решением данного сравнения.
2) Так как #x \equiv 3 (\mod 7)# то #2x - 3 \equiv 0 (\mod 7).# т.е. #2x \equiv 3 (\mod 7),# Отсюда #2x \equiv 10 (\mod 7).#
3) Составим таблицу сравнений но модулю 6:
Из таблицы видно, что сравнения #x \equiv 5 (\mod 7),# не имеет решений.
4) Так как #2x +3 \equiv 0 (\mod 6)# то #x^{2} \equiv -1 (\mod 13),# Составим таблицу сравнений по модулю 3:
Из таблицы видно, что #x^{2} \equiv 12 (\mod 13).# является решениями данного сравнения.
5) Так как #x \equiv 5 (\mod 13), x \equiv 8 (\mod 13)# то #x^{2} \equiv -1 (\mod 11),# Составим таблицу сравнений по модулю 11:
Из таблицы видно, что сравнение #x^{2} \equiv 10 (\mod 11).# не имеет решений
6) Так как #x^{2} \equiv 2 (\mod 31),# то #x^{2} \equiv 64 (\mod 31),# или #x \equiv 8 (\mod 31), x \equiv -8 (\mod 31).#
7) Ð ассмотрим таблицу сравнений по модулю 5:
Из таблицы видно, что #x \equiv 2 (\mod 5),x \equiv 4 (\mod 5)# являются решениями данного сравнения.
8) Сравнение #2x^{2} + 4x + 2 \equiv 0 (\mod 8),# равносильно #2(x^{2} + 2x + 1) \equiv 0 (\mod 2 \cdot 4).# Отсюда #(x+1)^{2} \equiv 0 (\mod 4).# Для выполнения последнего сравнения достаточно, чтобы #x + 1 \equiv 0 (\mod 2).# Следовательно, #x \equiv 1 (\mod 2).# Поэтому возможны четыре случая: #x \equiv 1 (\mod 8),# #x \equiv 3 (\mod 8), x \equiv 5 (\mod 8), x \equiv 7 (\mod 8).#
Ð ешите сравнения: 1) #2x + 1 \equiv 0 (\mod 7);#
2) #2x - 3 \equiv 0 (\mod 7);#
3) #2x + 3 \equiv 0 (\mod 6);#
4) #x^{2} \equiv -1 (\mod 13);#
5) #x^{2} \equiv -1 (\mod 11);#
6) #x^{2} \equiv 2 (\mod 31);#
7) #2x^{2} + 3x + 1 \equiv 0 (\mod 5);#
8) #2x^{2} + 4x + 2 \equiv 0 (\mod 8);#
Решение:
1) Первый способ. Так как #2x + 1 \equiv 0 (\mod 7),# то #2x \equiv -1 (\mod 7),# т.е. #2x \equiv 6 (\mod 7).# Отсюда Второй способ. Составим таблицу сравнений по модулю 7:
| #x# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| #2x# | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| #2x+1# | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
2) Так как #x \equiv 3 (\mod 7)# то #2x - 3 \equiv 0 (\mod 7).# т.е. #2x \equiv 3 (\mod 7),# Отсюда #2x \equiv 10 (\mod 7).#
3) Составим таблицу сравнений но модулю 6:
| #x# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| #2x# | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| #2x+3# | 3 | 5 | 1 | 3 | 5 | 1 |
4) Так как #2x +3 \equiv 0 (\mod 6)# то #x^{2} \equiv -1 (\mod 13),# Составим таблицу сравнений по модулю 3:
| #x# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| #x^{2}# | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 |
5) Так как #x \equiv 5 (\mod 13), x \equiv 8 (\mod 13)# то #x^{2} \equiv -1 (\mod 11),# Составим таблицу сравнений по модулю 11:
| #x# | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| #x^{2}# | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 |
7) Ð ассмотрим таблицу сравнений по модулю 5:
| #x# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| #x^{2}# | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| #3x# | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| #2x^{2}# | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 |
| #2x^{2} + 3x + 1# | 1 | 1 | 0 | 3 | 0 |
8) Сравнение #2x^{2} + 4x + 2 \equiv 0 (\mod 8),# равносильно #2(x^{2} + 2x + 1) \equiv 0 (\mod 2 \cdot 4).# Отсюда #(x+1)^{2} \equiv 0 (\mod 4).# Для выполнения последнего сравнения достаточно, чтобы #x + 1 \equiv 0 (\mod 2).# Следовательно, #x \equiv 1 (\mod 2).# Поэтому возможны четыре случая: #x \equiv 1 (\mod 8),# #x \equiv 3 (\mod 8), x \equiv 5 (\mod 8), x \equiv 7 (\mod 8).#
