Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 869
2014-03-02 
Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
Решение:
Предположим, что равенство возможно, т.е. #(2m - 2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m + 2)^{2k_{3}} = n^{2p}.# Ð ассмотрим сравнения по модулю 3. Три последовательных четных числа всегда имеют следующие остатки от деления на 3: 0, 1, 2. Пусть для определенности #2m - 2 \equiv 0 (\mod 3),# тогда #2m \equiv 2 (\mod 3),# #2m + 2 \equiv 1 (\mod 3)# Следовательно, #(2m - 2)^{2k_{1}} \equiv 0 (\mod 3)# #(2m)^{2k_{2}} \equiv 2^{k_{2}} = 4^{k_{2}} \equiv 1 (\mod 3)# #(2m + 2)^{2k_{1}} \equiv 1 (\mod 3)# Отсюда #(2m - 2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m + 2)^{2k_{3}} \equiv 0 + 1 + 1 \equiv 2 (\mod 3)# но #n^{2p}# может давать только два остатка при делении на 3 - либо О, либо 1. Итак, левая и правая части равенства #(2m-2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m+2)^{2k_{3}} = n^{2p}# не сравнимы но модулю 3, что и доказывает утверждение.
Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
Решение:
Предположим, что равенство возможно, т.е. #(2m - 2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m + 2)^{2k_{3}} = n^{2p}.# Ð ассмотрим сравнения по модулю 3. Три последовательных четных числа всегда имеют следующие остатки от деления на 3: 0, 1, 2. Пусть для определенности #2m - 2 \equiv 0 (\mod 3),# тогда #2m \equiv 2 (\mod 3),# #2m + 2 \equiv 1 (\mod 3)# Следовательно, #(2m - 2)^{2k_{1}} \equiv 0 (\mod 3)# #(2m)^{2k_{2}} \equiv 2^{k_{2}} = 4^{k_{2}} \equiv 1 (\mod 3)# #(2m + 2)^{2k_{1}} \equiv 1 (\mod 3)# Отсюда #(2m - 2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m + 2)^{2k_{3}} \equiv 0 + 1 + 1 \equiv 2 (\mod 3)# но #n^{2p}# может давать только два остатка при делении на 3 - либо О, либо 1. Итак, левая и правая части равенства #(2m-2)^{2k_{1}} + (2m)^{2k_{2}} + (2m+2)^{2k_{3}} = n^{2p}# не сравнимы но модулю 3, что и доказывает утверждение.
