ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-02   
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть квадратом целого числа.


Решение:


Предположим, что #(a - 2)^{2} + (a - 1)^{2} + a^{2} + (a + 1)^{2} + (a + 2)^{2} =x^{2}.# Тогда #5a^{2} + 10 =x^{2},# или #5(a^{2} + 2 ) =x^{2}.# т.е. #x^{2} \equiv 0 (\mod 5).# Составим таблицу сравнений по модулю 5:

#x#	0	1	2	3	4
#x^{2}#	0	1	4	4	1

Из таблицы видно, что #x \equiv 0 (\mod 5).# т.е. #x = 5k# Тогда #5(a^{2} + 2) = 25k^{2},# или #a^{2} + 2 = 5k^{2}.# Следовательно, #a^{2} = 5k^{2}.-2,# т.е. #a^{2} \equiv -2 (\mod 5).# или #a^{2} \equiv 3 (\mod 5).# Но квадрат целого числа никогда не дает при делении на 5 остаток, равный 3. Значит, сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть квадратом целого числа.