ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-02   
Докажите, что если #a^{2} + b^{2} + c^{2}# делится на 9, то хотя бы одно из чисел #a^{2} - b^{2}, a^{2} - c^{2}, b^{2} - c^{2}# делится на 9.


Решение:


Рассмотрим таблицу остатков от деления на 9 для произ-вольного целого числа #x# его квадрата:

#x#	0	1	2	3	4	5	6	7	8
#x^{2}#	0	1	4	0	7	7	0	4	1

Итак, каково бы пи было целое число #x,# число #x^{2}# может иметь при делении на 9 только остатки 0, 1,4. 7. Обозначим через #r_{1}, r_{2}, r_{3}# остатки. которые дают при делении на 9 числа #a^{2}, b^{2}, c^{2}# соответственно. Тогда #0 \equiv a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 \equiv r_{1} + r_{2} + r_{3} (\mod 9).# Но каждое из чисел #r_{1}, r_{2}, r_{3}# может принимать лишь значения О, 1, 4, 7. Легко видеть поэтому, что сумма #r_{1} + r_{2} + r_{3}# может делиться на 9 лишь в следующих случаях: 1) #r_{1} = r_{2} = r_{3} = 0;# 2) одно из чисел #r_{1}, r_{2}, r_{3}# равно 1, два других равны 4; 3) одно из чисел #r_{1}, r_{2}, r_{3}# равно 7. два других равны 1; 4) одно из чисел #r_{1}, r_{2}, r_{3}# равно 4. два других равны 7. Во всех случаях среди чисел #r_{1}, r_{2}, r_{3}# найдутся два одинаковых, то есть какие-нибудь два из чисел #a^{2}, b^{2}, c^{2}# имеют одинаковые остатки при делении на 9. Значит, хотя бы одна из разностей #a^{2} - b^{2}, a^{2} - c^{2}# делится на 9.