ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-02   
Докажите, что каковы бы ни были целые числа #a,b,c# число #a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1# не делится на 8.


Решение:


Рассмотрим таблицу остатков от деления на 8 для произвольного целого числа #x# и его квадрата:

#x#	0	1	2	3	4	5	6	7
#x^{2}#	0	1	4	1	0	1	4	1

Итак, каково бы ни было целое число #x,# число #x^{2}# может иметь при делении на 8 только остатки 0, 1, 4. Обозначим через #r_{1},r_{2},r_{3}# остатки. которые дают при делении на 8 числа #a^{2}, b^{2}, c^{2}# соответственно. Тогда #a^{2} + b^{2} + c^{2} + \equiv r_{1} + r_{2} + r_{3} + 1 (\mod 8).# Но каждое из чисел #r_{1},r_{2},r_{3}# может принимать лишь значения 0, 1. 4. Легко видеть поэтому, что сумма #r_{1} + r_{2} + r_{3} + 1# может делиться на 8 лишь в случаях, когда не менее двух из чисел #r_{1},r_{2},r_{3}# равны 4. Имеем три возможности:
1) одно из чисел #r_{1},r_{2},r_{3}# равно 1, два других равны 4: тогда #r_{1} + r_{2} + r_{3} + 1 = 10 \not \equiv (\mod 8);#
2) одно из чисел #r_{1},r_{2},r_{3}# равно 0. два других равны 4: тогда #r_{1} + r_{2} + r_{3} + 1 = 9 \not \equiv (\mod 8);#
3) #r_{1} = r_{2} = r_{3} = 4;# тогда #r_{1} + r_{2} + r_{3} + 1 = 13 \not \equiv ( \mod 8).# Итак, каковы бы ни были целые числа #a, b, c,# число
#a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1# не делится на 8.