ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-02   
Докажите, что если #a^{2} + b^{2}# делится на 7, то #a# и #b# делятся на 7.


Решение:


Рассмотрим таблицу остатков от деления на 7 для произвольного целого числа х и его квадрата:

#x#	0	1	2	3	4	5	6
#x^{2}#	0	1	4	2	2	4	1

Из таблицы видно, что #a^{2} + b^{2}# может быть сравнимо по модулю 7 со следующими числами: #\begin{matrix} 0 + 0 =0, & 0 + 1 = 1, & 0 + 4 =4, & 0 + 2 =2, & 1 + 4 =5, \\ 1 + 2 =3, & 1 + 1 = 2, & 4 + 4 = 1, & 4 + 2 = 6, & 2 + 2 = 4. \end{matrix}# Следовательно, если #a^{2} + b^{2} \equiv (\mod 7).# то #a \equiv b \equiv 0 (\mod 7).#