ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-02   
Найдите:
1) две последние цифры числа #2^{2004}#;
2) последнюю цифру числа #1998^{2001^{2004}}# .


Решение:


1) Необходимо найти остаток от деления на 100. Составим таблицу двух последних цифр степеней числа 2:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
02	04	08	16	32	64	28	56	12	24	48

12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
96	92	84	68	36	72	44	88	76	52	04

Получилось повторение: #2^{2} \equiv 2^{22} (\mod 100).# Следовательно, две последние цифры будут повторяться через 20, тогда: #2^{2004} = 2^{20 \cdot 100 + 4} \equiv 2^{4} \equiv 16 (\mod 100).#
2) Необходимо найти остаток от деления на 10: #1998^{2001^{2004}} \equiv 8^{2001^{2004}} (\mod 100).# Составим таблицу для последней цифры степеней числа 8:

1	2	3	4	5
8	4	2	6	8

Получилось повторение: #8^{1} \equiv 8^{5} (\mod 10).# Следовательно, последняя цифра будет повторяться через 4. тогда #8^{2001^{2004}} \equiv 8^{(4 \cdot 500 + 1)^{2004}} = 8^{4n + 1} = 8\cdot 8^{4n} = 8 \cdot 4^{2n} \equiv 8 \cdot 6^{n} \equiv 8 (\mod 10),# т.к. #6^{n}# всегда оканчивается на цифру 6 для любого #n \in \mathbf{N}#