Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 860
2014-03-02 
Докажите, что:
1) #11^{10} - 1# делится на 100;
2) #2222^{5555} + 5555^{2222}# делится на 7.
Решение:
1) #11^{10} = 121^{5} \equiv 21^{5} = 21 \cdot 21^{4} = 21 \cdot 441^{2} \equiv 21 \cdot 41^{2} = 21 \cdot 1681 \equiv# поэтому #\equiv 21 \cdot 81 = 1701 \equiv 1 (\mod 100),# т.е. #11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 (\mod 100),# делится на 100.
2) #11^{10} - 1# Поэтому #2222^{5555} \equiv 3^{5555} = 243^{1111} \equiv (-2)^{1111} (\mod 7);#
Докажите, что:
1) #11^{10} - 1# делится на 100;
2) #2222^{5555} + 5555^{2222}# делится на 7.
Решение:
1) #11^{10} = 121^{5} \equiv 21^{5} = 21 \cdot 21^{4} = 21 \cdot 441^{2} \equiv 21 \cdot 41^{2} = 21 \cdot 1681 \equiv# поэтому #\equiv 21 \cdot 81 = 1701 \equiv 1 (\mod 100),# т.е. #11^{10} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 (\mod 100),# делится на 100.
2) #11^{10} - 1# Поэтому #2222^{5555} \equiv 3^{5555} = 243^{1111} \equiv (-2)^{1111} (\mod 7);#
