Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 855
2014-03-02 
Докажите, что простых чисел вида #4k - 1# бесконечно много.
Решение:
Предположим, что множество таких чисел конечно. Перенумеруем их в порядке возрастания: #p_{1} = 3, p_{2} = 7,# #p_{3} = 11, \cdots, p_{r}# Ð ассмотрим целое число #N = 4 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{r} - 1.# Это число нечетно, поэтому все его простые делители нечетны. Нечетные числа могут быть представлены либо в виде #4n + 1,# либо в виде #4n - 1.# Заметим, что произведение любых двух чисел вида #4n + 1# имеет тот же вид. Действительно, #(4l + 1) \cdot (4m + 1) = 4 \cdot (4lm + l + m) + 1 = 4n+1.# Отсюда, ввиду того, что #N# имеет вид #4n - 1,# можно заключить, что у #N# есть простой делитель вида #4n - 1.# Обозначим его буквой #p.# Так как #N# не делится ни на одно из чисел #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r},# то #p# отлично от всех чисел #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}# Это противоречит с предположением, что #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}# - совокупность всех простых чисел вида #4k - 1.# Утверждение доказано.
Докажите, что простых чисел вида #4k - 1# бесконечно много.
Решение:
Предположим, что множество таких чисел конечно. Перенумеруем их в порядке возрастания: #p_{1} = 3, p_{2} = 7,# #p_{3} = 11, \cdots, p_{r}# Ð ассмотрим целое число #N = 4 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{r} - 1.# Это число нечетно, поэтому все его простые делители нечетны. Нечетные числа могут быть представлены либо в виде #4n + 1,# либо в виде #4n - 1.# Заметим, что произведение любых двух чисел вида #4n + 1# имеет тот же вид. Действительно, #(4l + 1) \cdot (4m + 1) = 4 \cdot (4lm + l + m) + 1 = 4n+1.# Отсюда, ввиду того, что #N# имеет вид #4n - 1,# можно заключить, что у #N# есть простой делитель вида #4n - 1.# Обозначим его буквой #p.# Так как #N# не делится ни на одно из чисел #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r},# то #p# отлично от всех чисел #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}# Это противоречит с предположением, что #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}# - совокупность всех простых чисел вида #4k - 1.# Утверждение доказано.
