Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 854
2014-03-02 
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
Решение:
Предположим, что простых чисел вида #3n + 2# конечное множество. Пусть #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}# - все эти числа. Число #A = 3 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{s} + 2# не делится ни на одно из чисел #p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{s}# и не делится на 3. Поэтому, если разложить число #A# на простые множители: #A = q_{1} \cdot q_{2} \cdot \cdots \cdot q_{r},# то среди этих множителей не будет ни одного из чисел #3, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}.# Иначе говоря, все эти простые множители будут числами вида #3k + 1.# Но произведение чисел вида #3k + 1# снова является числом того же вида, в то время как #A# есть число вида #3n + 2.# Противоречие, которое доказывает, что простых чисел вида #3n + 2# бесконечно много.
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
Решение:
Предположим, что простых чисел вида #3n + 2# конечное множество. Пусть #p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}# - все эти числа. Число #A = 3 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{s} + 2# не делится ни на одно из чисел #p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{s}# и не делится на 3. Поэтому, если разложить число #A# на простые множители: #A = q_{1} \cdot q_{2} \cdot \cdots \cdot q_{r},# то среди этих множителей не будет ни одного из чисел #3, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}.# Иначе говоря, все эти простые множители будут числами вида #3k + 1.# Но произведение чисел вида #3k + 1# снова является числом того же вида, в то время как #A# есть число вида #3n + 2.# Противоречие, которое доказывает, что простых чисел вида #3n + 2# бесконечно много.
